理解了向量和向量組的定義之后,我們考慮向量有哪些運(yùn)算。對(duì)于矩陣,我們定義了三種運(yùn)算:加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置和乘法。這些運(yùn)算可以應(yīng)用到向量上
作者
劉緯宇
尋根究底之秩篇(1):是什么,為什么,怎么用
尋根究底之秩篇(2):是什么,為什么,怎么用
理解了向量和向量組的定義之后,我們考慮向量有哪些運(yùn)算。
對(duì)于矩陣,我們定義了三種運(yùn)算:加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置和乘法。這些運(yùn)算可以應(yīng)用到向量上得到向量的相應(yīng)運(yùn)算。
向量的加法和數(shù)乘合起來稱為線性運(yùn)算。通過線性運(yùn)算,我們可以定義向量的兩個(gè)核心概念:線性表出和線性相關(guān)。
線性表出,顧名思義,就是用線性的方式表示出來。何為“線性的方式”,怎么表示出來的?我們看一個(gè)例子,對(duì)于向量組(1 0),(0 1)和向量(2 3),(2 3)如何用前兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組表示?不難發(fā)現(xiàn)是(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。大家看,等式的右端只有線性運(yùn)算(加法和數(shù)乘),這就是前面提到的“線性的方式”。這樣我們稱向量(2 3)可以由向量組(1 0),(0 1)線性表出。注意到等號(hào)右面的式子是用線性的方式把向量(1 0),(0 1)組合起來了,所以我們稱之為(1 0),(0 1)的一個(gè)線性組合。
這樣我們就對(duì)線性組合及線性表出的概念有了個(gè)基本認(rèn)識(shí)。這樣是否就夠了呢?當(dāng)然不夠。我們?cè)趯W(xué)馬克思主義哲學(xué)時(shí)有“由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)”之說。理性認(rèn)識(shí)更深刻,是對(duì)事物本質(zhì)的把握。盡管感性認(rèn)識(shí)、理性認(rèn)識(shí)用在這里未必恰當(dāng),但道理是相通的。我們通過例子對(duì)概念的理解很難說把握住了概念的本質(zhì)。要體會(huì)其本質(zhì),還是要從嚴(yán)格的定義出發(fā)。
這里要提醒廣大考生:對(duì)于考研數(shù)學(xué)中的一些較難理解的概念,有同學(xué)覺得定義太抽象,進(jìn)而放棄了對(duì)定義的理解,而試圖通過具體的例子理解概念。覺得弄懂了例子,概念就算是理解了。這是不可靠的。從學(xué)知識(shí)的角度,弄懂例子談不上理解了概念的內(nèi)涵和外延;從考試的角度,考試考查的是考生對(duì)概念的理解和運(yùn)用,某個(gè)具體的例子只是一種具體的應(yīng)用,所以離考試要求有距離。
下面我們看一下線性組合和線性表出的定義:
對(duì)于任意一組實(shí)數(shù)k1,k2,…,kn,稱k1乘alfa1+ k2乘alfa2+…+ kn乘alfan為向量組alfa1,alfa2,…,alfan的一個(gè)線性組合。
注意到對(duì)于同一個(gè)向量組,給定一組實(shí)數(shù),則得到一個(gè)線性組合,可見一個(gè)向量組的線性組合有無窮多個(gè)。
若向量beta能寫成alfa1,alfa2,…,alfan的一個(gè)線性組合,則稱向量beta能由向量組alfa1,alfa2,…,alfan線性表出。
關(guān)于線性表出的定義需注意以下幾點(diǎn):
(1)實(shí)數(shù)k1,k2,…,kn(或稱組合系數(shù))可以全為零,這和線性相關(guān)的定義不同。
(2)零向量可以由任何同維的向量組線性表出(把實(shí)數(shù)k1,k2,…,kn取成全為零即可)。
(3)向量組里任何一個(gè)向量可由向量組線性表出(把該向量對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)取成1,其余實(shí)數(shù)取成零即可)。
討論完線性表出這個(gè)核心概念后,我們來討論向量部分另一個(gè)核心概念:線性相關(guān)。
我們先看一個(gè)例子:
向量組I:(1 0),(0 1),(2 3);向量組II:(1 0),(0 1).
我們觀察向量組I,不難發(fā)現(xiàn)(2 3)可由其余向量(1 0),(0 1)線性表出:(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。也可以不太嚴(yán)格地理解成(2 3)為“冗余”向量(它的功能能由其余向量代替)。當(dāng)然,該等式也能等價(jià)變形為2乘(1 0)+3乘(0 1)+(-1)乘(2 3)=(0 0),也就是能找到不全為零的數(shù)2,3,-1把向量組I組合成零向量。我們把這種向量組稱為線性相關(guān)的向量組。有三個(gè)理解角度:1)存在不全為零的數(shù)將其組合起來構(gòu)成零向量(即定義);2)至少存在一個(gè)向量能由其余向量線性表出(對(duì)應(yīng)一個(gè)定理);3)向量組中有冗余向量(“樸素的理解方式”)。
再觀察向量組II,發(fā)現(xiàn)其情況與向量組I正好相反。我們也可以從三個(gè)角度理解它:1)不存在不全為零的數(shù)將其組合起來構(gòu)成零向量;2)不存在任何一個(gè)向量能由其余向量線性表出;3)向量組中沒有冗余向量。另外,第1)點(diǎn)還可以等價(jià)地描述成:若用實(shí)數(shù)將向量組合起來使其為零向量,則這組實(shí)數(shù)必全為零。我們把這種向量組II這種類型的向量組稱為線性無關(guān)的向量組。線性無關(guān)是和線性相關(guān)相對(duì)應(yīng)的一個(gè)概念。
通過對(duì)上面這個(gè)小例子的分析,我們對(duì)線性相關(guān)和線性無關(guān)這兩個(gè)概念有了基本認(rèn)識(shí)。要想有更深刻的認(rèn)識(shí),我們需要深入探究其定義。這時(shí)可能有同學(xué)耐不住性子了:說了半天概念,這和咱們最終要討論的向量組的秩有什么關(guān)系?印象里有個(gè)“極大線性無關(guān)組”的概念還沒說?另外,矩陣的秩和向量組的秩有什么關(guān)系?秩有哪些應(yīng)用?這些東西都沒說呢!別急,羅馬不是一天建成的。指望三篇文章把線性代數(shù)最難的兩個(gè)概念徹底談清楚還是要求有點(diǎn)高的。淡定,咱還有后續(xù)的文章,敬請(qǐng)關(guān)注。
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