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2015年考研大綱解析:線性代數(shù)重點內(nèi)容

  經(jīng)過暑假強化階段學(xué)習(xí)以后,從九月開始進入復(fù)習(xí)鞏固階段,也是提高階段的尾端,也就是說,如果考生順利完成了提高階段的復(fù)習(xí),將為沖刺階段提供足夠空間,反之則可能打亂整個復(fù)習(xí)進程.這段時間,考生還是要堅持兩條腿走路,即知識點總結(jié)和題型總結(jié),也就是要把書由厚讀到薄,把知識轉(zhuǎn)化成自己的東西,這樣才會越學(xué)越輕松。線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)中占有重要地位,必須予以高度重視。和高數(shù)與概率統(tǒng)計相比,由于線性代數(shù)的學(xué)科特點,同學(xué)們更應(yīng)該要注重對知識點的總結(jié)。線性代數(shù)試題的特點比較突出,以計算題為主,證明題為輔,因此,同學(xué)們必須注重計算能力。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)一、二、三中均占22%,所以考生要想取得高分,學(xué)好線代也是必要的。下面,就將線代中重點內(nèi)容和典型題型做總結(jié),希望對同學(xué)們后期的復(fù)習(xí)有所幫助。
  一 行列式
  行列式在整張試卷中所占比例不是很大,一般以填空題、選擇題為主,它是必考內(nèi)容,不只是考察行列式的概念、性質(zhì)、運算,與行列式有關(guān)的考題也不少,例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。如果試卷中沒有獨立的行列式的試題,必然會在其他章、節(jié)的試題中得以體現(xiàn)。所以要熟練掌握行列式常用的計算方法。
  1 重點內(nèi)容:行列式計算
  (1)降階法
  這是計算行列式的主要方法,即用展開定理將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質(zhì)對行列式進行恒等變形,化簡之后再展開。
 ?。?)特殊的行列式
  有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三線型行列式、爪型行列式等等,必須熟練掌握相應(yīng)的計算方法。
  2 常見題型
 ?。?)數(shù)字型行列式的計算
 ?。?)抽象行列式的計算
 ?。?)含參數(shù)的行列式的計算
  (4)代數(shù)余子式的線性組合
  二 矩陣
  矩陣是線性代數(shù)的核心,是后續(xù)各章的基礎(chǔ)。矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數(shù)的始終。這部分考點較多。涉及伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題。有些性質(zhì)得證明必須能自己推導(dǎo)。這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)初等變換與初等矩陣的命題。
  1 重點內(nèi)容:
 ?。?)矩陣的運算
 ?。?)伴隨矩陣
 ?。?)可逆矩陣
 ?。?)初等變換和初等矩陣
 ?。?)矩陣的秩
  2 常見題型:
 ?。?)計算方陣的冪
  (2)與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題
 ?。?)有關(guān)初等變換的命題
  (4)有關(guān)逆矩陣的計算與證明
 ?。?)解矩陣方程(2013年和2014年連續(xù)出大題,要重視)
  (6)矩陣秩的計算和證明
  三 向量
  向量部分既是重點又是難點,由于n維向量的抽象性及在邏輯推理上的較高要求,導(dǎo)致考生在學(xué)習(xí)理解上的困難??忌辽僖崂砬宄R點之間的關(guān)系,最好能獨立證明相關(guān)結(jié)論。
  1 重點內(nèi)容:
 ?。?)向量的線性表示
  線性表示經(jīng)常和方程組結(jié)合考察,特點,表面問一個向量可否由一組向量線性表示,其實本質(zhì)需要轉(zhuǎn)換成方程組的內(nèi)容來解決,經(jīng)常結(jié)合出大題。
 ?。?)向量組的線性相關(guān)性
  向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)的重點,也是考研的重點。同學(xué)們一定要吃透向量組線性相關(guān)性的概念,熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用,還應(yīng)與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯(lián)系,從各個側(cè)面加強對線性相關(guān)性的理解。
  (3)向量組等價
  要注意向量組等價與矩陣等價的區(qū)別。
 ?。?)向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩
 ?。?)向量空間(數(shù)一)
  2 常見題型:
 ?。?)判定向量組的線性相關(guān)性
 ?。?)向量組線性相關(guān)性的證明
 ?。?)判定一個向量能否由一向量組線性表出
 ?。?)向量組的秩和極大無關(guān)組的求法
  (5)有關(guān)秩的證明
 ?。?)有關(guān)矩陣與向量組等價的命題
  (7)與向量空間有關(guān)的命題。
  四 線性方程組
  往年考題中,方程組出現(xiàn)的頻率較高,幾乎每年都有考題,也是線性代數(shù)部分考查的重點內(nèi)容。但也不會簡單到僅考方程組的計算,還需靈活運用,比如2014年的線性代數(shù)第一道解答題,解矩陣方程,而且系數(shù)矩陣是不可逆的,這是考研以來第一次這樣考,最后歸結(jié)為求三個非齊次線性方程組通解。
  1 重點內(nèi)容:
 ?。?)齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結(jié)構(gòu)
  (2)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明
 ?。?)齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對參數(shù)取值的討論)。
  2 常見題型:
 ?。?)線性方程組的求解
 ?。?)方程組解向量的判別及解的性質(zhì)
 ?。?)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系
  (4)非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)
 ?。?)兩個方程組的公共解、同解問題
  五 特征值與特征向量
  特征值、特征向量是線性代數(shù)的重點內(nèi)容,是考研的重點之一,題多分值大。
  1 重點內(nèi)容
  (1)特征值和特征向量的概念及計算
 ?。?)方陣的相似對角化
 ?。?)實對稱矩陣的正交相似對角化
  2 常見題型
 ?。?)數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法
 ?。?)抽象矩陣特征值和特征向量的求法
  (3)矩陣相似的判定及逆問題(2014出大題)
 ?。?)矩陣的相似對角化及逆問題
 ?。?)由特征值或特征向量反求A
  (5)有關(guān)實對稱矩陣的問題
  六 二次型
  由于二次型與它的實對稱矩陣式一一對應(yīng)的,所以二次型的很多問題都可以轉(zhuǎn)化為它的實對稱矩陣的問題,可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個基礎(chǔ)。
  1 重點內(nèi)容:
 ?。?)掌握二次型及其矩陣表示,了解二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念;
 ?。?)了解二次型的規(guī)范形和慣性定理;
 ?。?)掌握用正交變換并會用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;
 ?。?)理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。
  2 常見題型
 ?。?)二次型表成矩陣形式
 ?。?)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
 ?。?)二次型正定性的判別。
  同學(xué)們可以對照以上內(nèi)容和題型,多問問自己是否已熟練掌握相關(guān)知識點和對應(yīng)題型的解答。應(yīng)該說考研數(shù)學(xué)最簡單的部分就是線性代數(shù),其計算基本都是加減乘除,小學(xué)生都會,但這部分的難點就在于概念非常多而且相互聯(lián)系,線代貫穿的主線就是求方程組的解,只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹,再回過頭看前面的內(nèi)容就非常簡單。同時從考試內(nèi)容來看,考的內(nèi)容基本類似,可以說是最死的部分,這幾年出的考試題實際上就是以前考題的翻版,仔細(xì)研究一下以前考題對大家是最有好處的。
 

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