尋根究底矩陣的秩

　　【摘要】秩在線性代數(shù)中用在矩陣和向量組上，我們也可以將秩視為對(duì)矩陣和向量組排序的一種指標(biāo)。下面為大家講解矩陣的秩的相關(guān)知識(shí)。
 

　　什么是矩陣？矩陣即由m乘n個(gè)實(shí)數(shù)排列而成的m行n列的數(shù)表。

　　有人說(shuō)，要想真正認(rèn)識(shí)一座山，除了要親自爬一下這座山，還要爬其它的山。這是有道理的：前者讓人有親身經(jīng)驗(yàn)，后者使人有所參照。生活和學(xué)習(xí)中的很多道理是相通的。要透徹理解一個(gè)概念，不僅需要深入理解其定義，而且需要將其與其它概念作比較，以辨明區(qū)別與聯(lián)系。

　　下面，我們就把矩陣與行列式做一個(gè)比較：
 

　　上表提到了子式，那什么是子式？子式即矩陣任取i行i列交叉位置的元素所構(gòu)成的行列式。為什么叫子式？子即孩子，因?yàn)樗删仃嚠a(chǎn)生的，是矩陣的孩子；式即行列式。這里的子式是相對(duì)矩陣而言的，行列式有沒(méi)有子式呢？

　　因?yàn)樾辛惺街械脑厥前捶疥囆问脚帕械?，是可以按照矩陣找子式的方式找出子式的。但這只是矩陣找子式的方式，行列式有自己找子式的方式。也即行列式也有子式，不過(guò)子式的找法與矩陣不同。如何找，找出來(lái)是什么樣子？我們看下面兩個(gè)概念：

　　1、余子式

　　顧名思義：余下的子行列式。仍有疑問(wèn)：余下的，怎么余下的？子式是“由行列式產(chǎn)生的行列式”嗎？后面問(wèn)題回答是肯定的。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，看一下余子式 的完整定義就可以了：行列式中元素aij對(duì)應(yīng)的余子式為在行列式中劃掉aij所在行和列后構(gòu)成的低一階的行列式。

　　所以我們發(fā)現(xiàn)：余下的含義是劃掉了一行一列而剩下。并且還發(fā)現(xiàn)余子式是只能是低一階的行列式，不能低兩階或低多階，也不能是同階。

　　2、代數(shù)余子式

　　代數(shù)作為修飾語(yǔ)的含義是“帶符號(hào)”(或加正負(fù)號(hào))。如定積分的幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和。所以代數(shù)余子式即帶符號(hào)的余子式。這里又產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn) 題：符號(hào)的正負(fù)是如何確定的呢？這是由劃掉的行數(shù)和列數(shù)決定的，或者說(shuō)由元素aij所在的位置決定的，即-1的i+j次冪。

　　通過(guò)一番討論，我們搞清了子式的概念。那對(duì)于這樣一個(gè)1乘3矩陣：(1 2 0)，你能找出它的所有的子式嗎？不難發(fā)現(xiàn)它的子式共有三個(gè)：1，2，0。這說(shuō)明：一個(gè)矩陣的子式可能有多個(gè)。而我們關(guān)注的是那些非零的子式(注意到子式 是行列式，而行列式的值是可以算出來(lái)的)。此處非零的子式有：1，2。

　　現(xiàn)在我們?cè)偻瓿梢豁?xiàng)工作，勝利就在眼前了。在這些非零的子式里，我們挑出階數(shù)最高的。此處兩個(gè)非零子式都是一階的，最高階數(shù)當(dāng)然是1。這個(gè)最高階數(shù)不是別的，就是原矩陣的秩。所以矩陣(1 2 0)的秩為1。是不是有“眾里尋他千百度，那秩卻在燈火闌珊處”的感覺(jué)？

　　對(duì)于一個(gè)一般的m乘n矩陣，我們也可以按照上面的三個(gè)步驟找出它的秩：找出它的所有子式；在這些子式里面找出非零的；挑出非零子式中階數(shù)最高的，這個(gè)最高階數(shù)就是矩陣的秩。下面再看矩陣的秩的定義，就會(huì)覺(jué)得它不那么難理解了。矩陣的秩即矩陣中非零子式的最高階數(shù)。

　　下面我們繼續(xù)挖掘矩陣的秩的內(nèi)涵。

　　一個(gè)矩陣的秩為2意味著什么？按照矩陣的秩的定義，我們可以得到該矩陣中非零子式的最高階數(shù)為2。可以這么翻譯：該矩陣中存在2階非零子式，且不存在3階非零子式。

　　前半句話怎么理解？或者反過(guò)來(lái)理解：試想，如果若這半句話不成立，即矩陣中不存在2階非零子式，那矩陣中非零子式的最高階數(shù)就不可能為2了(應(yīng)小于或等于1)，這與已知條件矛盾。那么，根據(jù)前面的分析，這半句話等價(jià)于矩陣的秩大于等于2。類(lèi)似的討論可以對(duì)后半句話進(jìn)行。不難得到這半句話等價(jià)于矩陣的小于等于2。

　　這里有兩個(gè)問(wèn)題：矩陣不存在3階非零子式有幾種情況呢？不難發(fā)現(xiàn)有兩種：(1)矩陣沒(méi)有3階子式(跟別談3階非零子式了，如一個(gè)2乘2的矩陣)；(2)矩陣有3階子式，但3 階子式全為零。另一個(gè)問(wèn)題，如果矩陣不存在3階非零子式，那么有可能存在4階及以上階的非零子式嗎？如果你對(duì)行列式的展開(kāi)定理比較熟悉，應(yīng)該不難得出答案。

　　推廣一下，我們就得到了一般情況：矩陣的秩為k等價(jià)于矩陣中非零子式的最高階數(shù)為k，也等價(jià)于矩陣中存在k階非零子式，且不存在k+1階非零子式。

　　還有兩個(gè)特殊情況需要我們注意：

　　矩陣的秩為1等價(jià)于矩陣中存在1階非零子式，且不存在2階非零子式。思考：什么是1階子式？不就是矩陣的元素嗎？那么1階非零子式就是非零元素了。進(jìn)一步，矩陣中存在1階非零子式也即矩陣中存在非零元素。這有說(shuō)明了什么呢？這說(shuō)明矩陣不是零矩陣。

　　再分析后半句話，2階子式為零意味著什么？大家可以自己舉個(gè)例子，是不是說(shuō)明二階行列式的元素按行按列成比例(這里的成比例是廣義的，比如二階行列式有一行元素為零，那0除0理解成可以等于任何數(shù))。進(jìn)一步所有二階子式全為零說(shuō)明什么，是不是說(shuō)明整個(gè)矩陣是按行按列成比例的分析至此，秩為1的矩陣長(zhǎng)什么樣子大家應(yīng)該有個(gè)印象了：存在非零元素，且按行按列成比 例。

　　n階方陣的秩為n等價(jià)于其自身取行列式后不為零。這個(gè)大家自己分析，應(yīng)該不困難。這種情況矩陣的秩達(dá)到了最大值，秩是滿的，我們稱(chēng)該矩陣滿秩。

　　考研數(shù)學(xué)就沒(méi)有那么可怕了，相信你們一定能拿下考研！

      （我是實(shí)習(xí)小編鄭玉寶，相信自己，你就是最好的！）