考研數(shù)學(xué)迷之知識(shí)點(diǎn)——積分定還是不定？

　　摘要：今天帶來(lái)第三個(gè)很迷的考研數(shù)學(xué)概念——定積分or不定積分，定不定你心里還沒(méi)點(diǎn)數(shù)么？沒(méi)有。跟著幫幫好好區(qū)分和學(xué)習(xí)一下定積分和不定積分，希望對(duì)大家的理解有幫助，這可是考研數(shù)學(xué)每年必考的知識(shí)點(diǎn)。

　　一、不定積分

　　1、原函數(shù)存在定理

　　定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對(duì)任一x∈l都有F'(x)=f(x)；簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

　　分部積分法

　　如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。

　　如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u。

　　2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

　　二、定積分

　　1、定積分解決的典型問(wèn)題

　　(1)曲邊梯形的面積（2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

　　2、函數(shù)可積的充分條件

　　定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a上]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。

　　定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。

　　3、定積分的若干重要性質(zhì)

　　性質(zhì)如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0

　　推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx

　　推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx

　　性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)≤dx≤M(b-a)，該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。

　　性質(zhì)（定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在點(diǎn)ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）(b-a)。

　　4、關(guān)于廣義積分

　　設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)剛[a，b]上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù)，而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無(wú)界，如果兩個(gè)廣義積分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx都收斂，則定義∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx，否則(只要其中一個(gè)發(fā)散）就稱(chēng)廣義積分∫abf(x)dx發(fā)散。

　　三、定積分的應(yīng)用

　　求平面圖形的面積（曲線圍成的面積）

　　直角坐標(biāo)系下（含參數(shù)與不含參數(shù)）

　　極坐標(biāo)系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

　　旋轉(zhuǎn)體體積（由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成）（且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程）

　　平行截面面積為已知的立體體積（V=∫abA(x)dx，其中A(x)為截面面積）

　　功、水壓力、引力

　　函數(shù)的平均值（平均值y=l/(b-a)*∫abf(x)dx)

　?。▽?shí)習(xí)小編：加油豬）