真題考點(diǎn)大總結(jié)，線代不怕擼不清！

　　摘要：線性代數(shù)這一部分在考研數(shù)學(xué)中，因?yàn)樗嫉目荚囶}型不多、計(jì)算方法比較初等、計(jì)算量比較大等特點(diǎn)，導(dǎo)致很多小伙伴對(duì)線性代數(shù)感到棘手。今天，幫幫從歷年考試的真題中為大家總結(jié)線性代數(shù)的考點(diǎn)，教教大家在準(zhǔn)備階段如何入手線代。

　　線代部分對(duì)很多備考的學(xué)子來(lái)說(shuō)，最深刻感覺(jué)就是，抽象、概念多、定理多、性質(zhì)多、關(guān)系多。如果這些東西掌握不熟練，拿到題不知道如何下手。

　　通常一個(gè)考題的跨度比較大，一個(gè)題目表面上看只是考某一章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，而處理時(shí)可能會(huì)涉及多個(gè)章節(jié)里面的知識(shí)點(diǎn)，所以這樣給考生復(fù)習(xí)帶來(lái)困難和阻力。

　　但是考生一弄透了，線代又屬于比較容易拿分的部分，因?yàn)榫€代里面的考題類(lèi)型往往比較固定，考法上面比較穩(wěn)定。下面通過(guò)對(duì)歷年真題的研究分析，對(duì)真題考點(diǎn)分門(mén)別類(lèi)進(jìn)行總結(jié)，對(duì)考研復(fù)習(xí)是大有裨益的。

　　?線性代數(shù)章節(jié)總結(jié)

　　•第一章行列式

　　本章的考試重點(diǎn)是行列式的計(jì)算，考查形式有兩種：一是數(shù)值型行列式的計(jì)算，二是抽象型行列式的計(jì)算.另外數(shù)值型行列式的計(jì)算不會(huì)單獨(dú)的考大題，考選擇填空題較多，有時(shí)出現(xiàn)在大題當(dāng)中的一問(wèn)或者是在大題的處理其他問(wèn)題需要計(jì)算行列式，題目難度不是很大。

　　主要方法是利用行列式的性質(zhì)或者展開(kāi)定理即可。而抽象型行列式的計(jì)算主要：利用行列式的性質(zhì)、利用矩陣乘法、利用特征值、直接利用公式、利用單位陣進(jìn)行變形、利用相似關(guān)系。06、08、10、12年、13年的填空題均是抽象型的行列式計(jì)算問(wèn)題，14年選擇考了一個(gè)數(shù)值型的矩陣行列式，15、16年的數(shù)一、三的填空題考查的是一個(gè)n行列式的計(jì)算，今年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三這塊都沒(méi)有涉及。

　　•第二章矩陣

　　本章的概念和運(yùn)算較多，而且結(jié)論比較多，但是主要以填空題、選擇題為主，另外也會(huì)結(jié)合其他章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)考大題。本章的重點(diǎn)較多，有矩陣的乘法、矩陣的秩、逆矩陣、伴隨矩陣、初等變換以及初等矩陣等。

　　其中06、09、11、12年均考查的是初等變換與矩陣乘法之間的相互轉(zhuǎn)化，10年考查的是矩陣的秩，08年考的則是抽象矩陣求逆的問(wèn)題，這幾年考查的形式為小題，而13年的兩道大題均考查到了本章的知識(shí)點(diǎn)，第一道題目涉及到矩陣的運(yùn)算，第二道大題則用到了矩陣的秩的相關(guān)性質(zhì)。

　　14的第一道大題的第二問(wèn)延續(xù)了13年第一道大題的思路，考查的仍然是矩陣乘法與線性方程組結(jié)合的知識(shí)，但是除了這些還涉及到了矩陣的分塊。16年只有數(shù)二了矩陣等價(jià)的判斷確定參數(shù)。

　　•第三章向量

　　本章是線代里面的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，抽象、概念與性質(zhì)結(jié)論比較多。重要的概念有向量的線性表出、向量組等價(jià)、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)、極大線性無(wú)關(guān)組等。復(fù)習(xí)的時(shí)候要注意結(jié)構(gòu)和從不同角度理解。

　　做題重心要放在問(wèn)題轉(zhuǎn)換上面。出題方式主要以選擇與大題為主。這一章無(wú)論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來(lái)每年都有一道考題，不是向量組的線性表出就是向量組的線性相關(guān)性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問(wèn)題，13年考查的則是向量組的等價(jià)，14年的選擇題則考查了向量組的線性無(wú)關(guān)性。

　　15年數(shù)一第20題結(jié)合向量空間的基問(wèn)題考查了向量組等價(jià)的問(wèn)題。16年數(shù)數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二23題考的同樣的題，第二問(wèn)考向量組的線性表示的問(wèn)題。

　　•第四章線性方程組

　　主要考點(diǎn)有兩個(gè)：一是解的判定與解的結(jié)構(gòu)、二是求解方程。考察的方式還是比較固定，直接給方程討論解的情況、解方程或者通過(guò)其他的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性方程組、矩陣方程的形式來(lái)考。

　　06年以來(lái)只有11年沒(méi)有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問(wèn)題，13年考查的第一道大題考查的形式不是很明顯，但也是線性方程組求解的問(wèn)題。14年的第一道大題就是線性方程組的問(wèn)題，15年選擇題考查了解的判定，數(shù)二、數(shù)三同一個(gè)大題里面考查了矩陣方程的問(wèn)題。

　　16年數(shù)一第20題矩陣方程解的判斷和求解，數(shù)三第20題與數(shù)二第22題直接考線性方程解的判斷和求解，數(shù)一第21題第二問(wèn)解矩陣方程。16年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第23題第二問(wèn)直接考矩陣方程解求解，基本都不需要大家做轉(zhuǎn)換。今年數(shù)一、數(shù)三第20題、數(shù)二第22題第二問(wèn)題都考了抽象的線性方程的求解問(wèn)題。

　　•第五章矩陣

　　矩陣的特征值與特征向量，每年大題都會(huì)涉及這章的內(nèi)容?？即箢}的時(shí)候較多。重點(diǎn)考查三個(gè)方面，一是特征值與特征向量的定義、性質(zhì)以及求法;二是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，三是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)以及正交相似對(duì)角化的問(wèn)題。要的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)與正交相似對(duì)角化問(wèn)題可以說(shuō)每年必考，09、10、11、12、13年都考了。

　　14考查的則是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，是以證明題的形式考查的。15年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三選擇題結(jié)合二次型正交化特點(diǎn)然后結(jié)合特征值定義考查;大題也是有一個(gè)題目相同，都是矩陣相似，然后對(duì)角化問(wèn)題。

　　16年數(shù)一數(shù)三第21題與數(shù)二第23題的第一問(wèn)以考高次冪的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)就是矩陣相似對(duì)角化問(wèn)題。今年數(shù)一、數(shù)三第5、6、20、題與數(shù)二第7、8、14、22、14題都考相似、相似對(duì)角的判斷性質(zhì)。今年在這章涉及的分?jǐn)?shù)高達(dá)20多分。

　　•第六章二次型

　　本章是第五章的運(yùn)用，有兩個(gè)重點(diǎn)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;二是正定二次型。前一個(gè)重點(diǎn)主要考查大題，有兩種處理方法：配方法與正交變換法，而正交變換法是考查的重中之重。

　　10、11、12年均以大題的形式出現(xiàn)，考查的是利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，而13年的最后一道大題考查的也是二次型的題目，但它考查的則是二次型的矩陣表示，另外也考到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，它是通過(guò)間接的方式求得特征值然后直接得出標(biāo)準(zhǔn)形的。后一考點(diǎn)正定二次型則以小題為主。

　　14則是以填空題的形式出現(xiàn)的，考查的題目為已知二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，讓求參數(shù)的取值范圍。15年結(jié)合對(duì)角化考了個(gè)選擇題。

　　16年數(shù)一結(jié)合空間解析幾何考了二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，數(shù)三、數(shù)二正負(fù)慣性指數(shù)考察。今年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第3題考察的就是二次型正交對(duì)角化問(wèn)題。

　　綜合所述，線代每年的考題都比較固定，大題基本上在線性方程和特征值的角度出。所以建議20的同學(xué)在復(fù)習(xí)線代的時(shí)候從以下幾個(gè)方面去把握。

　　1.綜合掌握“一條主線，兩種運(yùn)算，三個(gè)工具”

　　復(fù)習(xí)過(guò)程中，綜合掌握“一條主線，兩種運(yùn)算，三個(gè)工具”。一條主線是解線性方程組，線代概念非常多而且相互聯(lián)系，但線代貫穿的主線求方程組的解，只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹，再回過(guò)頭看前面的內(nèi)容就非常簡(jiǎn)單。兩種運(yùn)算是求行列式、矩陣的初等行(列)變換，三個(gè)工具是行列式、矩陣、向量。其中，向量組線性相關(guān)性是難點(diǎn)，要理解記憶各條定理，理清其中關(guān)系，多做題鞏固知識(shí)點(diǎn)。特征向量與二次型雖不難，但年年必考，計(jì)算能力要跟上，多做題才能提高正確率。

　　2.網(wǎng)狀化知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高綜合分析能力

　　線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)，再問(wèn)做得好不好。只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開(kāi)闊了。

　　文章開(kāi)頭提到了歷年真題中，兩道大題考試內(nèi)容?？忌鷳?yīng)注意掌握知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系與區(qū)別，例如向量組的秩與矩陣的秩之間的聯(lián)系，向量的線性相關(guān)性與齊次方程組是否有非零解之間的聯(lián)系，向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯(lián)系，實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的對(duì)角化與實(shí)二次型化標(biāo)準(zhǔn)形之間的聯(lián)系等。靈活掌握他們之間的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)做線性代數(shù)的兩個(gè)大題在解題思路和方法上會(huì)有很大的幫助。

　　3.加強(qiáng)邏輯性，正確簡(jiǎn)明敘述表述

　　線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。

　　4.理解與把握基本概念，熟練運(yùn)用基本運(yùn)算

　　線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

　　線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過(guò)關(guān)，重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

　　5.不要陷入行列式的復(fù)雜計(jì)算之中

　　行列式是線性代數(shù)中的基本工具，在研究線性方程組和特征值和特征向量時(shí)會(huì)用到，有些行列式的計(jì)算很復(fù)雜，計(jì)算量也很大，但考研大綱對(duì)這部分內(nèi)容的要求并不高，只是要求會(huì)用行列式的性質(zhì)和按行(列)展開(kāi)定理計(jì)算行列式，該部分內(nèi)容不是考試的重點(diǎn)，因此不要在這方面花太多時(shí)間，只要掌握基本的公式和計(jì)算方法即可。

　　從歷年考研試題分布來(lái)看，涉及行列式計(jì)算的題型有4種形式：一是單純的行列式計(jì)算，即題目給出一個(gè)具體行列式，要求計(jì)算其值，二是給出一些抽象矩陣(方陣)及相應(yīng)條件，要求計(jì)算其矩陣行列式的值，三是在解線性方程組時(shí)需要計(jì)算其系數(shù)矩陣的行列式的值，四是在求解特征值時(shí)可能需要計(jì)算特征方程的根，這4種題型考生在復(fù)習(xí)時(shí)都要做一些題，掌握其基本解題方法。

　　6.抓住線性代數(shù)的核心——矩陣

　　矩陣和行列式是研究線性代數(shù)問(wèn)題的基本工具，尤其是矩陣，它是線性代數(shù)的靈魂，貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程的始終。

　　在求解線性方程組時(shí)，主要是通過(guò)矩陣的秩來(lái)判斷解的存在性和唯一性，具體計(jì)算時(shí)主要是通過(guò)矩陣的初等變換來(lái)求其解;在分析討論向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)時(shí)，利用矩陣的性質(zhì)來(lái)判斷其相關(guān)性和無(wú)關(guān)性也是常用的一種方法;

　　在計(jì)算特征向量時(shí)，一般都是利用矩陣的性質(zhì)或解方程組來(lái)求解;在解決二次型問(wèn)題時(shí)，首先是利用矩陣運(yùn)算將其表達(dá)為矩陣乘法形式，然后利用矩陣變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形。

　　由此可知，矩陣是學(xué)習(xí)的重中之重。學(xué)習(xí)矩陣時(shí)，一方面要掌握其性質(zhì)并靈活運(yùn)用到有關(guān)的計(jì)算和證明問(wèn)題中，另一方面要充分結(jié)合其它知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)一步強(qiáng)化。

　　（實(shí)習(xí)小編：時(shí)達(dá)迪）