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干貨:2021考研數學:高數牢記定理(五)

  對于考研數學來說,高數部分很重要,要想拿分,須把一些定理記牢。為此,幫幫整理了“2021考研數學:高數定理牢記(五)”的文章,希望對大家有所幫助。

  ?多元函數微分法及其應用

  1、多元函數極限存在的條件

  極限存在是指P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時,函數都無限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0,y0)時,即使函數無限接近某一確定值,我們還不能由此斷定函數極限存在。反過來,如果當P(x,y)以不同方式趨于P0(x0,y0)時,函數趨于不同的值,那么就可以斷定這函數的極限不存在。例如函數:f(x,y)=0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2&ne0

  2、多元函數的連續(xù)性定義

  設函數f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內有定義,P0(x0,y0)是D的內點或邊界點且P0&isinD,如果lim(x&rarrx0,y&rarry0)f(x,y)=f(x0,y0)則稱f(x,y)在點P0(x0,y0)連續(xù)。

  性質(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數,在D上一定有最大值和最小值。

  性質(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數,如果在D上取得兩個不同的函數值,則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

  3、多元函數的連續(xù)與可導

  如果一元函數在某點具有導數,則它在該點定連續(xù),但對于多元函數來說,即使各偏導數在某點都存在,也不能保證函數在該點連續(xù)。這是因為各偏導數存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時,函數值f(P)趨于f(P0),但不能保證點P按任何方式趨于P0時,函數值f(P)都趨于f(P0)。

  4、多元函數可微的要條件

  一元函數在某點的導數存在是微分存在的充分要條件,但多元函數各偏導數存在只是全微分存在的要條件而不是充分條件,即可微=>可偏導。

  5、多元函數可微的充分條件

  定理(充分條件)如果函數z=f(x,y)的偏導數存在且在點(x,y)連續(xù),則函數在該點可微分。

  6.多元函數極值存在的要、充分條件

  定理(要條件)設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導數,且在點(x0,y0)處有極值,則它在該點的偏導數為零。

  定理(充分條件)設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,則f(x,y)在點(x0,y0)處是否取得極值的條件如下:(1)AC-B2>0時具有極值,且當A0時有極小值(2)AC-B2

  7、多元函數極值存在的解法

  (1)解方程組fx(x,y)=0,fy(x,y)=0求的一切實數解,即可求得一切駐點。

  (2)對于每一個駐點(x0,y0),求出二階偏導數的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符號,按充分條件進行判定f(x0,y0)是否是極大值、極小值。

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