干貨：2021考研數學：高數牢記定理(五)

　　對于考研數學來說，高數部分很重要，要想拿分，須把一些定理記牢。為此，幫幫整理了“2021考研數學：高數定理牢記(五)”的文章，希望對大家有所幫助。

　　?多元函數微分法及其應用

　　1、多元函數極限存在的條件

　　極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時，函數都無限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時，即使函數無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數極限存在。反過來，如果當P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時，函數趨于不同的值，那么就可以斷定這函數的極限不存在。例如函數：f(x，y)=0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2&ne0

　　2、多元函數的連續(xù)性定義

　　設函數f(x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內有定義，P0(x0，y0)是D的內點或邊界點且P0&isinD，如果lim(x&rarrx0，y&rarry0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù)。

　　性質(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數，在D上一定有最大值和最小值。

　　性質(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

　　3、多元函數的連續(xù)與可導

　　如果一元函數在某點具有導數，則它在該點定連續(xù)，但對于多元函數來說，即使各偏導數在某點都存在，也不能保證函數在該點連續(xù)。這是因為各偏導數存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時，函數值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點P按任何方式趨于P0時，函數值f(P)都趨于f(P0)。

　　4、多元函數可微的要條件

　　一元函數在某點的導數存在是微分存在的充分要條件，但多元函數各偏導數存在只是全微分存在的要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導。

　　5、多元函數可微的充分條件

　　定理(充分條件)如果函數z=f(x，y)的偏導數存在且在點(x，y)連續(xù)，則函數在該點可微分。

　　6.多元函數極值存在的要、充分條件

　　定理(要條件)設函數z=f(x，y)在點(x0，y0)具有偏導數，且在點(x0，y0)處有極值，則它在該點的偏導數為零。

　　定理(充分條件)設函數z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時具有極值，且當A0時有極小值(2)AC-B2

　　7、多元函數極值存在的解法

　　(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實數解，即可求得一切駐點。

　　(2)對于每一個駐點(x0，y0)，求出二階偏導數的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符號，按充分條件進行判定f(x0，y0)是否是極大值、極小值。

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