新考研大綱如約而至。對考研人而言,關(guān)注點應(yīng)從對考綱的關(guān)注轉(zhuǎn)到如何更有效地復(fù)習(xí)上。考慮到這階段的同學(xué)已經(jīng)歷了基礎(chǔ)階段和暑期的復(fù)習(xí),已具
作者
佚名
新考研大綱如約而至。對考研人而言,關(guān)注點應(yīng)從對考綱的關(guān)注轉(zhuǎn)到如何更有效地復(fù)習(xí)上??紤]到這階段的同學(xué)已經(jīng)歷了基礎(chǔ)階段和暑期的復(fù)習(xí),已具備一定基礎(chǔ),也對真題中的題型有一定了解,但未必形成知識體系,重難點也未必完全把握。所以,借助此次與廣大考研人交流的機(jī)會,梳理高等數(shù)學(xué)中的重難點,以期給正在全力攀登的考研人搭一把手。
專題四一元積分
一元積分包括三部分內(nèi)容:不定積分、定積分和廣義積分。下面逐一討論。
1.不定積分
不定積分主要考什么?概念、性質(zhì)、計算?計算!下面就梳理一下不定積分的計算方法。該方法可總結(jié)為"一個基礎(chǔ)兩個方法"。所謂"一個基礎(chǔ)"指:有理函數(shù)積分的處理方法;所謂"兩個方法"指根式的處理方法和分部積分法。
何謂有理函數(shù)積分?即被積函數(shù)為有理函數(shù)的積分。而有理函數(shù)即分子分母分別為n次和m次多項式的函數(shù)。有理函數(shù)積分是整個不定積分計算的基礎(chǔ),因為很多其他類型的積分(如指數(shù)有理式積分、三角有理式積分等)可化為有理函數(shù)積分??荚囍苯涌加欣砗瘮?shù)積分的可能性不大,但可能間接考,也就是在計算過程中的某一步用到有理函數(shù)積分的處理方法。那如何處理?簡單說就是在老舊危房的墻壁上我們經(jīng)??吹降哪莻€字--拆。如何拆?教材和較權(quán)威的輔導(dǎo)書上都有討論,總結(jié)起來有三種情況:被積函數(shù)若含有x-a這種一次因子,則被積函數(shù)拆出一項A/(x-a),其中A為待定參數(shù);若含有(x-a)^2這種二次因子,則被積函數(shù)拆出兩項A/(x-a)+B/(x-a)^2;若含有x^2+ax+b這種二次因子(該拋物線無零點),則被積函數(shù)拆出一項(Ax+B)/(x^2+ax+b)。
接下來,討論根式的處理。若被積函數(shù)含有根號,我們自然想到去根號。如何去根號取決于根號下面表達(dá)式的具體形式:如果根號下面是關(guān)于x的一次式子,那么整體令成t,就能達(dá)到去根號的效果;如果根號下面是關(guān)于x的二次式子,要去根號,我們可以考慮通過換元讓根號下面整體出現(xiàn)一個平方,這時要借助一些三角恒等式,如根號下面是1-x^2,我們令x=sint就能達(dá)到效果;如果根號下面是其他形式,基本思路也是去根號,可類似上面考慮。當(dāng)然,這里的"換元"更嚴(yán)格的表述是不定積分的換元,注意不光要把被積函數(shù)中的變量換掉,還要把微分號中的變量也換成新的積分變量。
說著說著就說到了考試的重點內(nèi)容分部積分了。首先要把分部積分的公式弄清楚,可以這樣形式地記憶:被積函數(shù)是兩個函數(shù)的乘積,先把一個函數(shù)湊微分(從形式上看就是把這個函數(shù)拿到微分號中),進(jìn)一步等于新的積分式中的兩個函數(shù)相乘減去兩個函數(shù)交換位置。
接下來要處理好"何時用"和"怎么用"這兩個問題。數(shù)學(xué)上的道理和生活中的道理是相通的:打游戲時想放大招,若把握不好這兩個問題,那就可能出現(xiàn)不該放招時放了大招而該放大招時卻沒有大招了,也可能出現(xiàn)想放大招卻放不出的囧境;打籃球時要用好自己的身體,如果這兩個問題處理不好,就可能在不恰當(dāng)?shù)臅r間出現(xiàn)在不合適的位置,想為球隊做貢獻(xiàn)卻總是添亂。那么什么時候想到用分部積分法呢?有兩個信號(滿足其一即可):1)被積函數(shù)是不同類型函數(shù)之積;2)被積函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)和多項式等求導(dǎo)后比自己簡單的函數(shù)。
如果確定用分部積分法,那么u(x)和v'(x)的選取是個關(guān)鍵問題。如何選?觀察分部積分公式,不難發(fā)現(xiàn)等號左邊有u(x),而等號右邊會出現(xiàn)u'(x),說明求導(dǎo)后比自己簡單的函數(shù)適合作為u(x),如lnx,arctanx和多項式等;另外,等號左邊有v'(x),第一步需要把v'(x)拿到微分號中,說明容易湊微分的函數(shù)適合作為v'(x),如sinx,exp(x)等。
考試考不定積分計算主要考察根式的處理和分部積分法。有多種小的類型,如"一箭雙雕"型(用變量代換這支箭射下根號和反三角函數(shù)這兩只雕),"相互抵消"型(兩項單獨用分部積分難以算出結(jié)果,但在計算過程中這兩項能抵消)等。需大量練習(xí)才能達(dá)到熟練的要求。
2.定積分
先說定積分的定義。幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和。特殊情況下(區(qū)間取[0,1],等分,在每個小區(qū)間上取右端點處的函數(shù)值)的定積分定義可作為一個公式求一種特殊類型的極限--n項分母互不相同的分式的和的極限。此外,數(shù)一數(shù)二同學(xué)還需掌握微元法的基本思想。
再說定積分的性質(zhì)。定積分的大部分性質(zhì)在計算過程中經(jīng)常用到,在此不必贅述。值得一提的是比較定理。該定理告訴我們,比較定積分的大小,在保證積分區(qū)間相同的情況下,實質(zhì)上就是比較被積函數(shù)的大小??荚嚳级ǚe分的比較本質(zhì)上都是在考比較定理。
微積分基本定理從本質(zhì)上解決了定積分的計算問題。根據(jù)牛頓-萊布尼茲公式,求定積分在被積函數(shù)連續(xù)的情況下只需求出被積函數(shù)的一個原函數(shù),再計算其函數(shù)值之差即可。
下面我們說說定積分有什么特殊性質(zhì)。首先是對稱區(qū)間積分,我們比較熟悉的是被積函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時的性質(zhì),此外真題中出現(xiàn)了一種新的情形:被積函數(shù)有一個因子是偶函數(shù)且其余部分有特殊性質(zhì),也有相應(yīng)的結(jié)論??梢杂涀∵@個結(jié)論,用它來做同種類型的題目。接著就是做變量代換后區(qū)間不變的情況。如被積函數(shù)為f(sinx),積分區(qū)間為0到pi/2,若做變量代換:x=pi/2-t可得到另一個積分,從形式上看,相當(dāng)于把原積分的sin換成了cos。這也可以為我們解題提供思路。此外,就是定積分的分部積分法。這里有若干種小的類型,如被積函數(shù)含有抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x),f''(x)等,被積函數(shù)含有變限積分均可考慮定積分的分部積分法。另外,作為全面復(fù)習(xí),"點火公式"(被積函數(shù)為sinx的n次冪,積分區(qū)間為0到pi/2)也不應(yīng)放過。
3.廣義積分
廣義積分不少同學(xué)不熟悉,實際上考研要求很明確:會用定義判斷廣義積分的斂散性;會計算廣義積分。
定積分要存在需滿足兩條:積分區(qū)間有限且被積函數(shù)有界。破壞這些條件得到的積分稱為廣義積分。具體說來,無窮區(qū)間的廣義積分有三種:積分上限為無窮,積分下限為無窮,積分上、下限均為無窮;無界函數(shù)的廣義積分(也稱瑕積分,因為被積函數(shù)在積分區(qū)間無界,在區(qū)間內(nèi)部或端點處一定有讓被積函數(shù)無界的點,這種"不好"的點我們稱為瑕點)也有三種:瑕點在區(qū)間的左端點,瑕點在區(qū)間的右端點,瑕點在區(qū)間的內(nèi)部。
廣義積分收斂發(fā)散的定義的形式看起來較復(fù)雜,可以按照如下方式理解:把廣義積分按照定積分的牛頓-萊布尼茲公式算出來(把正負(fù)無窮帶入看成取極限,瑕點處的函數(shù)值也看成取極限),如果結(jié)果是個數(shù),則廣義積分收斂;如果不存在,則廣義積分發(fā)散。
這里要特別注意兩類積分:積分上、下限均為無窮的廣義積分和瑕點在區(qū)間的內(nèi)部的廣義積分。前者在用牛頓-萊布尼茲公式之前,要用0把積分區(qū)間拆成兩個區(qū)間,進(jìn)而把積分拆成兩個積分,然后運(yùn)用前面的方法討論這兩個積分的斂散性,原積分收斂的充要條件是這兩個積分都收斂;后者要用瑕點把積分區(qū)間拆成兩個區(qū)間,進(jìn)而把積分拆成兩個積分,然后運(yùn)用前面的方法討論這兩個積分的斂散性,原積分收斂的充要條件是這兩個積分都收斂。
廣義積分的計算就是定積分加取極限。如果是上文提到的那兩種特殊類型的廣義積分,先拆成兩個積分,再計算即可。
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