16種求極限的方法及一般題型解題思路分享

首先說下我的感覺,假如高等數(shù)學是棵樹木得話,那么極限就是他的根,函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性

作者

考yantang

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2014-10-21

　　首先說下我的感覺,假如高等數(shù)學是棵樹木得話,那么極限就是他的根,函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。為什么第一章如此重要？各個章節(jié)本質上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質。函數(shù)的性質表現(xiàn)在各個方面：首先對極限的總結如下：極限的保號性很重要,就是說在一定區(qū)間內函數(shù)的正負與極限一致。極限分為一般極限,還有個數(shù)列極限,（區(qū)別在于數(shù)列極限是發(fā)散的，是一般極限的一種）。

解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！你還能有補充么？）
　　1、等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用,前提是必須證明拆分后極限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記（x趨近無窮的時候還原成無窮?。?br />
　　2、洛必達法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）。首先他的使用有嚴格的使用前提！必須是X趨近而不是N趨近?。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的，不可能是負無窮！）必須是函數(shù)的導數(shù)要存在?。偃绺嬖V你g（x）,沒告訴你是否可導，直接用，無疑于找死！?。┍仨毷?比0無窮大比無窮大！當然還要注意分母不能為0。洛必達法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時候直接用；0乘以無窮，無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關系）所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成第一種的形式了；0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方。對于（指數(shù)冪數(shù)）方程方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0，當他的冪移下來趨近于無窮的時候，LNX趨近于0）。

　　3、泰勒公式(含有e的x次方的時候,尤其是含有正余弦的加減的時候要特變注意?。〦的x展開sina，展開cosa,展開ln1+x,對題目簡化有很好幫助。

　　4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法,取大頭原則最大項除分子分母?。?！看上去復雜,處理很簡單！

　　5、無窮小于有界函數(shù)的處理辦法,面對復雜函數(shù)時候,尤其是正余弦的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候,一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數(shù)，可能只需要知道它的范圍結果就出來了！

　　6、夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。┻@個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。

　　7、等比等差數(shù)列公式應用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）。

　　8、各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)。

　　9、求左右極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時一樣的，因為極限去掉有限項目極限值不變化。

　　10、兩個重要極限的應用。這兩個很重要！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大，無窮小都有對有對應的形式（第2個實際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當?shù)讛?shù)是1的時候要特別注意可能是用地兩個重要極限）

　　11、還有個方法，非常方便的方法,就是當趨近于無窮大時候,不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！x的x次方快于x！快于指數(shù)函數(shù)，快于冪數(shù)函數(shù)，快于對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）!!當x趨近無窮的時候，他們的比值的極限一眼就能看出來了。

　　12、換元法是一種技巧,不會對單一道題目而言就只需要換元，而是換元會夾雜其中。

　　13、假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的。

　　14、還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法，走投無路的時候可以考慮轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

　　15、單調有界的性質，對付遞推數(shù)列時候使用證明單調性！

　　16、直接使用求導數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減某個值）加減f（x）的形式,看見了要特別注意）（當題目中告訴你F(0)=0時候f（0）導數(shù)=0的時候，就是暗示你一定要用導數(shù)定義！

　　函數(shù)是表皮,函數(shù)的性質也體現(xiàn)在積分微分中。例如他的奇偶性質他的周期性。還有復合函數(shù)的性質：
　　1、奇偶性，奇函數(shù)關于原點對稱偶函數(shù)關于軸對稱偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0）；
　　2、周期性也可用在導數(shù)中在定積分中也有應用定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)積分的周期和他的一致；
　　3、復合函數(shù)之間是自變量與應變量互換的關系；
　　4、還有個單調性。(再求0點的時候可能用到這個性質?。梢詫У暮瘮?shù)的單調性和他的導數(shù)正負相關）:o再就是總結一下間斷點的問題（應為一般函數(shù)都是連續(xù)的所以間斷點是對于間斷函數(shù)而言的）間斷點分為第一類和第二類剪斷點。第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點的值可取的間斷點；第二類間斷點是震蕩間斷點或者是無窮極端點（這也說明極限即使不存在也有可能是有界的）。

　　下面總結一下，求極限的一般題型：
　　1、求分段函數(shù)的極限，當函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了！當X趨近無窮時候存在e的x次方的時候，就要分情況討論應為E的x次方的函數(shù)正負無窮的結果是不一樣的！
　　2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞？說白了，就是說函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉！

　　解決辦法：
　　1、求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了，這不是很容易么？但是！有2個問題要注意！問題1：積分函數(shù)能否求導？題目沒說積分可以導的話，直接求導的話是錯誤的?。。。栴}2：被積分函數(shù)中既含有t又含有x的情況下如何解決？
　　解決1的方法：就是方法2微分中值定理！微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號！解決2的方法：當x與t的函數(shù)是相互乘的關系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導數(shù)??！當x與t是除的關系或者是加減的關系,就要換元了?。〒Q元的時候積分上下限也要變化！）
　　3、求的是數(shù)列極限的問題時候:夾逼或者分項求和定積分都不可以的時候,就考慮x趨近的時候函數(shù)值,數(shù)列極限也滿足這個極限的,當所求的極限是遞推數(shù)列的時候:首先:判斷數(shù)列極限存在極限的方法是否用的單調有界的定理。判斷單調性不能用導數(shù)定義??！數(shù)列是離散的,只能用前后項的比較（前后項相除相減），數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法最后對xn與xn+1兩邊同時求極限,就能出結果了！

　　4、涉及到極限已經(jīng)出來了讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問題。
解決辦法：主要還是運用等價無窮小或者是同階無窮小。因為例如:當x趨近0時候f（x）比x=3的函數(shù),分子必須是無窮小，否則極限為無窮,還有洛必達法則的應用,主要是因為當未知數(shù)有幾個時候,使用洛必達法則,可以消掉某些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)。
　　5、極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構造新的函數(shù)，但是不太會！??！
　　:o最后總結一下間斷點的題型：
　　首先，遇見間斷點的問題、連續(xù)性的問題、復合函數(shù)的問題，在某個點是否可導的問題。主要解決辦法一個是畫圖，你能畫出反例來當然不可以了，你實在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對我而言證明很難的！我就畫圖??！我要能畫出來當然是對的，在這里就要很好的理解一階導的性質2階導的性質，函數(shù)圖形的凹凸性，函數(shù)單調性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應?。ㄔ谶@里尤其要注意分段函數(shù)?。ɡ绶侄魏瘮?shù)導數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個性質就比較特殊！！應為一般的函數(shù)都是連續(xù)的）；
　　方法2就是舉出反例！（在這里也是尤其要注意分段函數(shù)?。。├缫粋€函數(shù)是個離散函數(shù)，還有個也是離散函數(shù)他們的復合函數(shù)是否一定是離散的嘞？答案是NO，舉個反例就可以了；
　　方法3上面的都不行那就只好用定義了，主要是寫出公式，連續(xù)性的公式，求在某一點的導數(shù)的公式

　　:o最后了，總結一下函數(shù)在某一點是否可導的問題：
　　1、首先函數(shù)連續(xù)不一定可導，分段函數(shù)x絕對值函數(shù)在（0，0）不可導，我的理解就是：不可導=在這點上圖形不光滑。可導一定連續(xù)，因為他有個前提，在點的鄰域內有定義，假如沒有這個前提，分段函數(shù)左右的導數(shù)也能相等；
　　主要考點1：函數(shù)在某一點可導，他的絕對值函數(shù)在這點是否可導？解決辦法：記住函數(shù)絕對值的導數(shù)等于f（x）除以（絕對值（f（x）））再乘以F（x）的導數(shù)。所以判斷絕對值函數(shù)不可導點，首先判斷函數(shù)等于0的點，找出這些點之后，這個導數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數(shù)的導數(shù)依然存在啊，所以還要找出f（a）導數(shù)的值，不為0的時候，絕對值函數(shù)在這點的導數(shù)是無窮，所以絕對值函數(shù)在這些點上是不可導的啊。
　　考點2：處處可導的函數(shù)與在，某一些點不可導但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個函數(shù)的不可導點的判斷，直接使用導數(shù)的定義就能證明，我的理解是f（x）連續(xù)的話但是不可導，左右導數(shù)存在但是不等，左右導數(shù)實際上就是X趨近a的2個極限，f（x）乘以G（x）的函數(shù)在x趨近a的時候，f（x）在這點上的這2個極限乘以g（a），當g（a）等于0的時候，左右極限乘以0當然相等了，乘積的導數(shù)=f（a）導數(shù)乘以G(a)+G(a)導數(shù)乘以F（a），應為f（a）導數(shù)乘以G(a)=0，前面推出來了，所以乘積函數(shù)在這點上就可導了。導數(shù)為G(a)導數(shù)乘以F（a）。

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