摘要:每年考研數(shù)學必有一道證明題,分值在10分左右,其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其應用。與此同時,中值定理也是大部分考研學子難
作者
佚名
摘要:每年考研數(shù)學必有一道證明題,分值在10分左右,其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其應用。與此同時,中值定理也是大部分考研學子難以攻克的一環(huán),我們希望這篇文章能夠對你有所幫助。
微分中值定理及其應用最難的是三個微分中值定理:羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。它們是考研數(shù)學的重難點,現(xiàn)分別從涉及的知識點、考查方式、方法選擇、真題鏈接等四個方面進行分析。
一、涉及的知識點及考查形式
可涉及微分中值定理及其應用的知識點有,微分中值定理,洛必達法則,函數(shù)單調性的判別,函數(shù)的極值,函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線,函數(shù)圖形的描繪,函數(shù)的最大值與最小值,弧微分(數(shù)一、數(shù)二要求),曲率的概念(數(shù)一、數(shù)二要求),曲率圓與曲率半徑(數(shù)一、數(shù)二要求)。
微分中值定理以間接考查或與其他知識點綜合出題的比重很大,也可以直接出題,所以考查形式有多種。如利用導數(shù)的幾何意義考查函數(shù)的特性,討論導數(shù)零點存在性或方程根個數(shù)問題,不等式的證明,證明含中值的等式,求極限等。
二、方法選擇
題目考查微分中值定理,那么選擇哪一中值定理成為解題的關鍵。
針對題目的特點,可根據(jù)如下情況選擇對應的微分中值定理:如果結論不包含端點,優(yōu)先考慮羅爾定理;如果結論中包含端點,則考慮拉格朗日中值定理或柯西定理。那么選擇拉式還是柯西定理,需要對結論做進一步的處理,化為定理的標準形式。如第一個標準,左邊是只含端點,右邊只含中值;第二個標準,左邊進一步處理,分子分母減號,一側只含右端點,一側只含左端點。整理后,如果分母是端點相減,則選擇拉格朗日定理;否則,選擇柯西定理。
三、求解步驟及歷年真題解析
涉及到微分中值定理,一般首先要找輔導函數(shù)。針對拉式中值定理和柯西定理,經過對要證明的結論化為標準形式,可直接得出輔助函數(shù)。而羅爾定理,需要把結論化為微分方程的一般形式,使用積分因子法可找到。
有了輔助函數(shù),根據(jù)中值定理,列出定理對應的三個條件,得出結論。
四、小結
三個微分中值定理(條件與結論)的理解及其區(qū)別是復習的要點,而方法的選擇是解題的關鍵。三個微分中值定理(條件與結論)的理解及其區(qū)別理解透了,才能正確使用方法進行求解。知識點的理解一定要結合一定量的習題才能真正掌握知識點,并應用于考研。
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