2016考研數學：函數與極限定理匯總

　　【摘要】在暑期完成第一輪基礎考點的復習之后，9月份開始需要對考研數學所考的定理定義進行必要的匯總。本文為同學們整理了高數定理定義匯總?？佳袔蛿y手2016大綱解析人第一時間解讀大綱，點擊免費報名。

　　
　　1、函數的有界性
　　在定義域內有f(x)≥K1則函數f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。

　　2、函數的單調性、奇偶性、周期性

　　3、數列的極限
　　定理(極限的唯一性)數列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。

　　定理（收斂數列的有界性）如果數列{xn}收斂，那么數列{xn}一定有界。

　　如果數列{xn}無界，那么數列{xn}一定發(fā)散；但如果數列{xn}有界，卻不能斷定數列{xn}一定收斂，例如數列1，-1，1，-1，（-1）n+1…該數列有界但是發(fā)散，所以數列有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。

　　定理（收斂數列與其子數列的關系）如果數列{xn}收斂于a，那么它的任一子數列也收斂于a。

　　如果數列{xn}有兩個子數列收斂于不同的極限，那么數列{xn}是發(fā)散的，如數列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子數列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時一個發(fā)散的數列的子數列也有可能是收斂的。

　　4、函數的極限
　　函數極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0時f(x)有沒有極限與f(x)在點x0有沒有定義無關。

　　定理（極限的局部保號性）如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在著點那么x0的某一去心鄰域，當x在該鄰域內時就有f(x)>0（或f(x)>0），反之也成立。

　　函數f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

　　一般的說，如果lim（x→∞）f(x)=c，則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim（x→x0）f(x)=∞，則直線x=x0是函數y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

　　5、極限運算法則
　　有限個無窮小之和也是無窮??；有界函數與無窮小的乘積是無窮小；常數與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮??；

　　如果F1（x）≥F2（x）,而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b。

　　6、極限存在準則
　　兩個重要極限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1。

　　夾逼準則如果數列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數該準則也成立。

　　單調有界數列必有極限。

　　7、函數的連續(xù)性
　　設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f(x0)，即lim（x→x0）f(x)=f(x0)，那么就稱函數f(x)在點x0處連續(xù)。

　　不連續(xù)情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim（x→x0）f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim（x→x0）f(x)存在，但lim（x→x0）f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不連續(xù)或間斷。

　　如果x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數f(x)的第一類間斷點（左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點）。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點（無窮間斷點和震蕩間斷點）。

　　有限個在某點連續(xù)的函數的和、積、商（分母不為0）是個在該點連續(xù)的函數。

　　如果函數f(x)在區(qū)間Ix上單調增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數x=f(y)在對應的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調增加或減少且連續(xù)。反三角函數在他們的定義域內都是連續(xù)的。

　　定理（最大值最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數在開區(qū)間內連續(xù)或函數在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

　　定理（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M。

　　定理（零點定理）設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f(a)×f(b)<0），那么在開區(qū)間（a,b）內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

　　定理（介值定理）設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點處取不同的值f(a)=A，f(b)=B，那么對于A與B之間的任一數C，在開區(qū)間（a,b）內至少有一點ξ使f(ξ)=C，（a<ξ<b）。

　　推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值

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