17考研數(shù)學沖刺：21個常用“思維定勢”

　　【摘要】數(shù)學做題有一些固定的思路可以參考借鑒，我們稱為思維定勢，掌握了這些，大家做題就更快更準，下面總結(jié)了高數(shù)、線代及概率共21個固定解題思路，大家掌握。

　　?高數(shù)解題的四種思維定勢

　　1.在題設條件中給出一個函數(shù)f(x)二階和二階以上可導，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點展成泰勒公式再說。

　　2.在題設條件或欲證結(jié)論中有定積分表達式時，則“不管三七二十一”先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。

　　3.在題設條件中函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，則"不管三七二十一"先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

　　4.對定限或變限積分，若被積函數(shù)或其主要部分為復合函數(shù)，則"不管三七二十一"先做變量替換使之成為簡單形式f(u)再說。

　　?線性代數(shù)解題的八種思維定勢

　　1.題設條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行(列)展開定理以及AA*=A*A=|A|E。

　　2.若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。

　　3.若題設n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+bE再說。

　　4.若要證明一組向量a1，a2，...，as線性無關(guān)，先考慮用定義再說。

　　5.若已知AB=0，則將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。

　　6.若由題設條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說。

　　7.若已知A的特征向量ζ0，則先用定義Aζ0=λ0ζ0處理一下再說。

　　8.若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說。

　　?概率與數(shù)理統(tǒng)計解題的九種思維定勢

　　1.如果要求的是若干事件中"至少"有一個發(fā)生的概率，則馬上聯(lián)想到概率加法公式;當事件組相互獨立時，用對立事件的概率公式。

　　2.若給出的試驗可分解成(0-1)的n重獨立重復試驗，則馬上聯(lián)想到Bernoulli試驗，及其概率計算公式。

　　3.若某事件是伴隨著一個完備事件組的發(fā)生而發(fā)生，則馬上聯(lián)想到該事件的發(fā)生概率是用全概率公式計算。關(guān)鍵：尋找完備事件組。

　　4.若題設中給出隨機變量X~N則馬上聯(lián)想到標準化X~N(0，1)來處理有關(guān)問題。

　　5.求二維隨機變量(X，Y)的邊緣分布密度的問題，應該馬上聯(lián)想到先畫出使聯(lián)合分布密度的區(qū)域，然后定出X的變化區(qū)間，再在該區(qū)間內(nèi)畫一條//y軸的直線，先與區(qū)域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而Y的求法類似。

　　6.欲求二維隨機變量(X，Y)滿足條件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，應該馬上聯(lián)想到二重積分的計算，其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區(qū)域及滿足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的區(qū)域的公共部分。

　　7.涉及n次試驗某事件發(fā)生的次數(shù)X的數(shù)字特征的問題，馬上要聯(lián)想到對X作(0-1)分解。

　　8.凡求解各概率分布已知的若干個獨立隨機變量組成的系統(tǒng)滿足某種關(guān)系的概率(或已知概率求隨機變量個數(shù))的問題，馬上聯(lián)想到用中心極限定理處理。

　　9.若為總體X的一組簡單隨機樣本，則凡是涉及到統(tǒng)計量的分布問題，一般聯(lián)想到用分布，t分布和F分布的定義進行討論。

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