考研數(shù)學迷之知識點——多元函數(shù)微分學

　　摘要：數(shù)學看似一個邏輯性很強的學科，但卻非常的抽象，有時候一個概念會需要理解很久。今天我們要學的一個比較難的知識點叫多元函數(shù)微分學，微分比積分本就比較抽象且不好理解，還涉及到多元，快跟著幫幫復習鞏固一下吧。

　　1、導數(shù)和微分到底是什么？

　　導數(shù)和微分其實就是數(shù)學家創(chuàng)造的兩個代數(shù)工具，是為了從代數(shù)的角度來描述函數(shù)圖像在幾何上的變化。

　　說白了，就是每次描述函數(shù)圖像變化，不用再畫圖了，有了這個，直接用算式算算就行了。因此導數(shù)和微分也是溝通幾何和代數(shù)的重要橋梁之一。

　　而導數(shù)描述的是函數(shù)在一點處的變化快慢的趨勢，是一個變化的速率；微分描述的是函數(shù)從一點（移動一個無窮小量）到另一點的變化幅度，是一個變化的量。

　　2、函數(shù)的變化

　　描述函數(shù)的變化，一個是描述函數(shù)的變化快慢，一個是描述函數(shù)變化多少。比如圖1中，類似于一元函數(shù)的探討，想知道函數(shù)在A點變化的快慢趨勢，以及從A點到B點變化的幅度是多少。

　　另外我們多元函數(shù)的圖像還有一個有意思的問題，就是函數(shù)可以固定一個變量，讓另一個變量來變化，那么這又是與一元函數(shù)的十分不同的變化了，其實這是一個變化維度的問題。

　　?多元函數(shù)的變化，要考慮哪些問題：

　?。?）函數(shù)在A點的趨勢變化。

　?。?）函數(shù)從A到B的變化的量。

　?。?）函數(shù)降維時候的變化，比如固定y，將二元函數(shù)看成一個一元函數(shù)來讓x單獨變化，又會產生什么變化。

　　3、多元函數(shù)的相關概念

　　明確了我們要考慮的問題，其實就是怎么用數(shù)學工具來描述上面的那些變化，就要動手來解決問題了。如何將一元函數(shù)的導數(shù)和微分的知識進行相應的拓展，于是就產生了多元函數(shù)微分學的那些概念。

　?。?）方向導數(shù)：本質就是函數(shù)在A點無數(shù)個切線的斜率的定義。每一個切線都代表一個變化的方向。

　?。?）梯度：函數(shù)在A點無數(shù)個變化方向中變化最快的那個方向。

　?。?）全微分：函數(shù)從A點到B點變化的量（其實是取一個無窮小的變化的量）。

　?。?）偏導：多元函數(shù)降維時候的變化，比如二元函數(shù)固定y，只讓x單獨變化，從而看成是關于x的一元函數(shù)的變化來研究。

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