考研數(shù)學：6個大招！修煉矩陣求高次冪秘籍

　　摘要：關于方陣的高次冪(求矩陣A的n次方這種)，是刷題中經常遇到的一種類型，有時候很簡單的一個矩陣，它的高次冪卻很難求，考研中對其考察的頻率并不是很高。今天來理一下常用的幾種方陣求高次冪的方法。

　　第一步最重要的是觀察所給矩陣的特征，根據(jù)其“典型特征”選用不同的方法，這一步可以很好的理清思路，避免腦子里一團亂。

　　第一種，利用矩陣的跡求高次冪

　　適用情況：r(A)=1或矩陣的各行或各列成比例，這種矩陣一般可以化簡成A=αTβ（即一個列向量與一個行向量的乘積的形式）

　　第二種，二項式展開法

　　適用情況：矩陣A是上（下）三角矩陣，且主對角線的元素全為1（注意這里只能是主對角線的元素全為1,不能是副對角線）

　　這樣就可以把矩陣A拆成A=E+B，利用二項式展開求其冪。

　　這里有個小結論，如例題中的矩陣B，若矩陣主對角線都是0元素，且是上（下）三角陣，那么在求若干次冪之后，會變成0矩陣，這個大家可以自己去嘗試一下。

　　第三種，利用自乘產生的遞推式、數(shù)學歸納法

　　適用情況：矩陣中元素以0，正負1為主，且元素分布比較規(guī)律，例如對稱分布，反對稱分布。此類矩陣自乘一兩次后會出現(xiàn)明顯規(guī)律。

　　此類情況在自乘后產生遞推規(guī)律，除了可以直接觀察寫出結論，也可以利用數(shù)學歸納法進行證明。

　　第四種，利用分塊矩陣求冪

　　適用情況：矩陣的某一局部有0元素集中，且矩陣為四階及以上的，一般高階矩陣很容易就能看出是否能化成如下的分塊矩陣。

　　第五種，利用相似性求冪

　　適用情況：實對稱矩陣，且矩陣的元素不為0，正負1這些

　　實對稱矩陣必可相似于對角陣，若用前面第三種方法來算，若矩陣元素不為0和1，運算起來又很麻煩且第三種方法發(fā)現(xiàn)不了明顯規(guī)律，所以可以用對角陣來求冪。

　　第六種，利用特征值求冪

　　適用情況：此類求冪，并不是單純的求矩陣的冪，其主要與特征值特征向量結合在一起，旨在考察對特征值定義的理解。

　　以上就是方陣高次冪的常用的幾種解法了，考研考察的范圍基本也在上面六種之中，其中第三種利用遞推式、數(shù)學歸納法是屬于較難的那種，其余的也就是計算量略大。

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