干貨：2021考研數(shù)學(xué)高數(shù)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的定義

　　摘要：相對(duì)于其它學(xué)科，考研數(shù)學(xué)高數(shù)更強(qiáng)調(diào)知識(shí)的完整性和系統(tǒng)性，考生所面臨的任務(wù)不僅僅是深入理解基本的考點(diǎn)，更需要把握考點(diǎn)與考點(diǎn)之間的聯(lián)系，梳理學(xué)科的邏輯知識(shí)體系，才能融會(huì)貫通，綜合運(yùn)用基本知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

　　1.定義(傳統(tǒng))：

　　如果在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x，y并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。

　　2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：

　　定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則。

　　值域可由定義域唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，值域一定相同，它們可以視為同一函數(shù)。

　　3.對(duì)函數(shù)概念的理解：

　　函數(shù)三要素

　　(1)核心–;–;對(duì)應(yīng)法則等式y(tǒng)=f(x)表明，對(duì)于定義域中的任意x，在“對(duì)應(yīng)法則f”的作用下，即可得到y(tǒng).因此，f是使“對(duì)應(yīng)”得以實(shí)現(xiàn)的方法和途徑。是聯(lián)系x與y的紐帶，從而是函數(shù)的核心。對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，對(duì)應(yīng)法則可以用一個(gè)解析式來(lái)表示，但在不少較為復(fù)雜的問(wèn)題中，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則f也可以采用其他方式(如圖表或圖象等)。

　　(2)定義域定義域是自變量x的取值范圍，它是函數(shù)的一個(gè)不可缺少的組成部分，定義域不同而解析式相同的函數(shù)，應(yīng)看作是兩個(gè)不同的函數(shù)。在中學(xué)階段所研究的函數(shù)通常都是能夠用解析式表示的。如果沒(méi)有特別說(shuō)明，函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合。在實(shí)際問(wèn)題中，還必須考慮自變量所代表的具體的量的允許取值范圍問(wèn)題。

　　(3)值域值域是全體函數(shù)值所組成的集合。在一般情況下，一旦定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只要看其定義域與對(duì)應(yīng)法則是否完全相同，若相同就是同一個(gè)函數(shù)，若定義域和對(duì)應(yīng)法則中有一個(gè)不同，就不是同一個(gè)函數(shù)。同一函數(shù)概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。

　　(4)關(guān)于函數(shù)符號(hào)y=f(x)

　　1°、y=f(x)即“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示。僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“y等于f與x的乘積”。f(x)也不一定是解析式。

　　2°、f(x)與f(a)的區(qū)別：f(x)是x的函數(shù)，在通常情況下，它是一個(gè)變量。f(a)表示自變量x=a時(shí)所得的函數(shù)值，它是一個(gè)常量即是一個(gè)數(shù)值。f(a)是f(x)的一個(gè)當(dāng)x=a時(shí)的特殊值。

　　3°、如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同雖然表示自變量的與函數(shù)的字母不相同，那么它們?nèi)匀皇峭粋€(gè)函數(shù)，但是如果定義域與對(duì)應(yīng)法則中至少有一個(gè)不相同，那么它們就不是同一個(gè)函數(shù)。

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