2017年考研數(shù)學大綱解析：線性代數(shù)的重點內(nèi)容和經(jīng)典題型

　　2016年8月26日教育部考試中心發(fā)布了2017年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學考試大綱，如同過去的幾年一樣，考研大綱在線性代數(shù)這一科上仍舊沒有發(fā)生變化。線性代數(shù)在考研數(shù)學中屬于比較簡單的，考生在這一塊的分數(shù)必須要拿到手，下面就具體的談一下線性代數(shù)的重點內(nèi)容和典型題型，便于同學們的復習。

　　線性代數(shù)試題的特點比較鮮明，選擇、填空題主要以計算題為主，計算量不大，有一定的靈活性和綜合性，兩道解答題主要是以計算為主，證明題為輔，因此，線性代數(shù)特別注重考生的計算能力。線性代數(shù)在數(shù)學一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，線代的分數(shù)必定不可缺少。

　　行列式的計算與矩陣相關的知識點包括行列式的計算公式、可逆判定、求逆、秩以及初等矩陣是后續(xù)章節(jié)知識點的基礎，整個線代中的基石。另外線性方程組的求解也是必須要掌握的，無論是直接解方程，還是判定向量能否被線性表出，又或者求特征向量，其方法是相同的，只是和相應的知識點結合，換了種說法。

　　從特征值特征向量往后，關鍵點是求具體矩陣的特征值的方法、由特征值的性質計算抽象矩陣的特征值，以及特征向量的性質在后續(xù)的相似對角化判定和計算中的應用，實對稱矩陣的把握關鍵是把握住其性質同時繼承了可相似對角化矩陣的一切性質。最后，二次型，從考試的方向來看，把握住二次型中的概念、會求逆矩陣以及判定二次型正定的方法。具體到每個考點，下面我們一一闡述每個知識點的重點內(nèi)容和考試中得?？碱}型。

　　行列式在整張試卷中直接考察的并不多，如果直接考察，一般是以填空題、選擇題為主，不只是考察行列式的概念、性質、運算，與行列式有關的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。如果試卷中沒有獨立的行列式的試題，必然會在其他章、節(jié)的考點中得以體現(xiàn)。

　　行列式的重點內(nèi)容是掌握計算行列式的方法，計算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開公式將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質對行列式進行變形，化簡之后再展開。另外，一些特殊的行列式(行或列和相等的行列式、三對角行列式、爪型行列式等等)的計算方法也應掌握。常見題型有：數(shù)字型行列式的計算、抽象行列式的計算、含參數(shù)的行列式的計算。

　　矩陣是線性代數(shù)的核心，是后續(xù)各章的基礎。矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數(shù)的始終。這部分考點較多，重點考點有逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程。涉及伴隨矩陣的定義、性質、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題。這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)有關初等變換與初等矩陣的命題。常見題型有以下幾種：計算方陣的冪、與伴隨矩陣相關聯(lián)的命題、有關初等變換的命題、有關逆矩陣的計算與證明、解矩陣方程。

　　向量組的線性相關性是線性代數(shù)的重點，也是考研的重點?？忌欢ㄒ酝赶蛄拷M線性相關性的概念，熟練掌握有關性質及判定法并能靈活應用，還應與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯(lián)系，從各個側面加強對線性相關性的理解。常見題型有：判定向量組的線性相關性、向量組線性相關性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關組的求法、有關秩的證明、有關矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關的命題。

　　歷年考題中，方程組出現(xiàn)的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線性代數(shù)部分考查的重點內(nèi)容。本章的重點內(nèi)容有：齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結構、齊次線性方程組基礎解系的求解與證明、齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對參數(shù)取值的討論)。主要題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質、齊次線性方程組的基礎解系、非齊次線性方程組的通解結構、兩個方程組的公共解、同解問題。

　　特征值、特征向量也是線性代數(shù)的重點內(nèi)容，也是考研的重點之一，題多分值大，這一模塊共有三部分重點內(nèi)容：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。重點題型有：數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對角化、由特征值或特征向量反求A、有關實對稱矩陣的問題。

　　由于二次型與它的實對稱矩陣式一一對應的，所以二次型的很多問題都可以轉化為它的實對稱矩陣的問題，可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個基礎。重點內(nèi)容包括：掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標準形等概念，了解二次型的規(guī)范形和慣性定理，掌握用正交變換，會用配方法化二次型為標準形，理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。重點題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標準形、二次型正定性的判別。

　　最后，預祝各位考生在考試中取得優(yōu)異的成績。