考研數(shù)學(xué)：線代知識(shí)框架“完整版”

　　摘要：不僅專(zhuān)業(yè)課需要知識(shí)框架，數(shù)學(xué)也是如此。一個(gè)優(yōu)秀而全面的知識(shí)框架有助于厘清整體的解題思路。下面分享一位師兄精心整理的線代知識(shí)點(diǎn)框架。

　　線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（一）
　　線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)：線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對(duì)象的過(guò)程中建立起來(lái)的學(xué)科。

　　線性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同，也可以不同。

　　關(guān)于線性方程組的解，有三個(gè)問(wèn)題值得討論：（1）、方程組是否有解，即解的存在性問(wèn)題；（2）、方程組如何求解，有多少個(gè)解；（3）、方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無(wú)內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。

　　高斯消元法，最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換：（1）、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；（2）、交換某兩個(gè)方程的位置；（3）、用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱(chēng)為線性方程組的初等變換。

　　任意的線性方程組都可以通過(guò)初等變換化為階梯形方程組。

　　由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。

　　對(duì)方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對(duì)位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的位置提取出來(lái)，形成一張表，通過(guò)研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱(chēng)為矩陣。

　　可以用矩陣的形式來(lái)表示一個(gè)線性方程組，這至少在書(shū)寫(xiě)和表達(dá)上都更加簡(jiǎn)潔。

　　系數(shù)矩陣和增廣矩陣。

　　高斯消元法中對(duì)線性方程組的初等變換，就對(duì)應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對(duì)應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過(guò)對(duì)其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

　　階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱(chēng)為該行的主元。

　　對(duì)不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)（有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解），再經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過(guò)初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng)，則方程組無(wú)解，若未出現(xiàn)0=d一項(xiàng)，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，若r<n，則方程組有無(wú)窮多解。

　　在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡(jiǎn)形，使用最簡(jiǎn)形，最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對(duì)于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過(guò)更多的初等變換。在求解過(guò)程中，選擇階梯形還是最簡(jiǎn)形，取決于個(gè)人習(xí)慣。

　　常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程稱(chēng)為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

　　齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。

　　利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問(wèn)題（1）解的存在性問(wèn)題和（2）如何求解的問(wèn)題，這是以線性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來(lái)的最基本理論。

　　對(duì)于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來(lái)表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱(chēng)為一個(gè)線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號(hào)由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。

　　通過(guò)對(duì)行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)（如交換某兩行其值反號(hào)、有兩行對(duì)應(yīng)成比例其值為零、可按行展開(kāi)等等），這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。

　　用系數(shù)行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

　　總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。

　　線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（二）
　　在利用高斯消元法求解線性方程組的過(guò)程中，涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說(shuō)，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒(méi)有解，有多少解的問(wèn)題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)為直接研究這種對(duì)n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算。

　　數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱(chēng)為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,...,an)，稱(chēng)ai是a的第i個(gè)分量。

　　n元有序數(shù)組寫(xiě)成一行，稱(chēng)為行向量，同時(shí)它也可以寫(xiě)為一列，稱(chēng)為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是元素的寫(xiě)法不同。

　　矩陣與向量通過(guò)行向量組和列向量組相聯(lián)系。

　　對(duì)給定的向量組，可以定義它的一個(gè)線性組合。線性表出定義的是一個(gè)向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。

　　利用矩陣的列向量組，我們可以把一個(gè)線性方程組有沒(méi)有解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量能否由另外一組向量線性表出的問(wèn)題。同時(shí)要注意這個(gè)結(jié)論的雙向作用。

　　從簡(jiǎn)單例子（如幾何空間中的三個(gè)向量）可以看到，如果一個(gè)向量a1能由另外兩個(gè)向量a2、a3線性表出，則這三個(gè)向量共面，反之則不共面。為了研究向量個(gè)數(shù)更多時(shí)的類(lèi)似情況，我們把上述兩種對(duì)向量組的描述進(jìn)行推廣，便可得到線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義。

　　通過(guò)一些簡(jiǎn)單例子體會(huì)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)（零向量一定線性無(wú)關(guān)、單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)、單位向量組線性無(wú)關(guān)等等）。

　　從多個(gè)角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度）體會(huì)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的本質(zhì)。

　　部分組線性相關(guān)，整個(gè)向量組線性相關(guān)。向量組線性無(wú)關(guān)，延伸組線性無(wú)關(guān)。

　　回到線性方程組的解的問(wèn)題，即一個(gè)向量b在什么情況下能由另一個(gè)向量組a1,a2,...,an線性表出？如果這個(gè)向量組本身是線性無(wú)關(guān)的，可通過(guò)分析立即得到答案：b,a1,a2,...,an線性相關(guān)。如果這個(gè)向量組本身是線性相關(guān)的，則需進(jìn)一步探討。

　　任意一個(gè)向量組，都可以通過(guò)依次減少這個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù)找到它的一個(gè)部分組，這個(gè)部分組的特點(diǎn)是：本身線性無(wú)關(guān)，從向量組的其余向量中任取一個(gè)進(jìn)去，得到的新的向量組都線性相關(guān)，我們把這種部分組稱(chēng)作一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組。

　　如果一個(gè)向量組A中的每個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組B線性表出，則稱(chēng)A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱(chēng)A和B等價(jià)。

　　一個(gè)向量組可能又不止一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)，同時(shí)由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)。

　　注意到一個(gè)重要事實(shí)：一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組不能被個(gè)數(shù)比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個(gè)向量（對(duì)應(yīng)線性無(wú)關(guān)）的確不可能由平面內(nèi)的兩個(gè)向量組成的向量組線性表出。

　　一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等，我們將這個(gè)數(shù)目r稱(chēng)為向量組的秩。

　　向量線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。等價(jià)的向量組有相同的秩。

　　有了秩的概念以后，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無(wú)關(guān)組來(lái)替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無(wú)解。

　　向量組的秩是一個(gè)自然數(shù)，由這個(gè)自然數(shù)就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，由此可見(jiàn)，秩是一個(gè)非常深刻而重要的概念，故有必要進(jìn)一步研究向量組的秩的計(jì)算方法。

　　線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（三）
　　為了求向量組的秩，我們來(lái)考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱(chēng)為矩陣的列秩，行向量組的秩稱(chēng)為行秩。

　　對(duì)階梯形矩陣進(jìn)行考察，發(fā)現(xiàn)階梯形矩陣的行秩等于列秩，并且都等于階梯形的非零行的數(shù)目，并且主元所在的列構(gòu)成列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

　　矩陣的初等行變換不會(huì)改變矩陣的行秩，也不會(huì)改變矩陣的列秩。

　　任取一個(gè)矩陣A，通過(guò)初等行變換將其化成階梯形J，則有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即對(duì)任意一個(gè)矩陣來(lái)說(shuō)，其行秩和列秩相等，我們統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的秩。

　　通過(guò)初等行變換化矩陣為階梯形，即是一種求矩陣列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的方法。

　　考慮到A的行秩和A的轉(zhuǎn)置的列秩的等同性，則初等列變換也不會(huì)改變矩陣的秩?？偠灾醯茸儞Q不會(huì)改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣A的秩，而不需要求A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組時(shí)，可以對(duì)A既作初等行變換，又作初等列變換，這會(huì)給計(jì)算帶來(lái)方便。

　　矩陣的秩，同時(shí)又可定義為不為零的子式的最高階數(shù)。

　　滿(mǎn)秩矩陣的行列式不等于零。非滿(mǎn)秩矩陣的行列式必為零。

　　既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同，則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡(jiǎn)單的表達(dá)如下：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。另外，有唯一解和有無(wú)窮多解的條件也可從秩的角度給出回答：系數(shù)矩陣的秩r等于未知量數(shù)目n，有唯一解，r<n，有無(wú)窮多解。

　　齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，可以用基礎(chǔ)解系來(lái)表示。當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等于n-r，用基礎(chǔ)解系表示的方程組的解的集合稱(chēng)為通解。

　　通過(guò)對(duì)具體實(shí)例進(jìn)行分析，可以看到求基礎(chǔ)解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。

　　非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，是由對(duì)應(yīng)的齊次通解加上一個(gè)特解。

　　線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（四）
　　在之前研究線性方程組的解的過(guò)程當(dāng)中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用，故還有必要對(duì)矩陣及其運(yùn)算進(jìn)行專(zhuān)門(mén)探討。

　　矩陣的加法和數(shù)乘，與向量的運(yùn)算類(lèi)同。

　　矩陣的另外一個(gè)重要應(yīng)用：線性變換（最典型例子是旋轉(zhuǎn)變換）。即可以把一個(gè)矩陣看作是一種線性變換在數(shù)學(xué)上的表述。

　　矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣A對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a，矩陣B對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度b，則矩陣AB對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a+b。

　　矩陣乘法的特點(diǎn)：若C=AB，則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對(duì)應(yīng)乘積之和；A的列數(shù)要和B的行數(shù)相同；C的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)是B的列數(shù)。需要主義的是矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律。

　　利用矩陣乘積的寫(xiě)法，線性方程組可更簡(jiǎn)單的表示為：Ax=b。

　　對(duì)于C=AB，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫(xiě)成列向量組的形式，即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示，從而推知C的列秩小于等于A的列秩；將右邊的矩陣B寫(xiě)成行向量組的形式，即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩，最終可得到結(jié)論，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩陣乘積的秩總不超過(guò)任一個(gè)因子的秩。

　　關(guān)于矩陣乘積的另外一個(gè)重要結(jié)論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。

　　一些特殊的矩陣：?jiǎn)挝魂?、?duì)角陣、初等矩陣。尤其要注意，初等矩陣是單位陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。

　　每一個(gè)初等矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)初等變換，因?yàn)樽蟪说男问綖镻A（P為初等矩陣），將A寫(xiě)成行向量組的形式，PA意味著對(duì)A做了一次初等行變換；同理，AP意味著對(duì)A做了一次初等列變換，故左乘對(duì)應(yīng)行變換，右乘對(duì)應(yīng)列變換。

　　若AB=E，則稱(chēng)A為可逆矩陣，B是A的逆陣，同樣，這時(shí)的B也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。

　　第一種求逆陣的方法：伴隨陣。這種方法的理論依據(jù)是行列式的按行（列）展開(kāi)。

　　矩陣可逆，行列式不為零，行（列）向量組線性無(wú)關(guān)，滿(mǎn)秩，要注意這些結(jié)論之間的充分必要性。

　　單位陣和初等矩陣都是可逆的。

　　若矩陣可逆，則一定可以通過(guò)初等變換化為單位陣，這是不難理解的，因?yàn)槌醯染仃嚌M(mǎn)秩，故最后化成的階梯型（最簡(jiǎn)形）中非零行數(shù)目等于行數(shù)，主元數(shù)目等于列數(shù)，這即是單位陣。進(jìn)一步，既然可逆矩陣可以通過(guò)初等變換化為單位陣，而初等變換對(duì)應(yīng)的是初等矩陣，即意味著：可逆矩陣可以通過(guò)左（右）乘一系列初等矩陣化為單位陣，換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因?yàn)閱挝魂囋诔朔e中可略去。

　　可逆矩陣作為因子不會(huì)改變被乘（無(wú)論左乘右乘）的矩陣的秩。

　　由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象，同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上，結(jié)果是將這個(gè)單位陣變?yōu)樵瓉?lái)矩陣的逆陣，由此引出求逆陣的第二種方法：初等變換。需要注意的是這個(gè)過(guò)程中不能混用行列變換，且同樣是左乘對(duì)應(yīng)行變換，右乘對(duì)應(yīng)列變換。

　　矩陣分塊，即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個(gè)整體，對(duì)這些被看作是整體的對(duì)象構(gòu)成的新的矩陣，運(yùn)算法則仍然適用。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式，實(shí)際也就是一種最常見(jiàn)的對(duì)矩陣進(jìn)行分塊的方式。