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2016考研數(shù)學(xué):關(guān)于定積分的三點建議

  考研數(shù)學(xué)中的高數(shù)部分從本質(zhì)上講只有三種運算:極限,導(dǎo)數(shù)與積分。首先看一下高等數(shù)學(xué)的整體框架:

 


  我們可以看到:在學(xué)習(xí)定積分之前,我們首先學(xué)習(xí)了不定積分。很多同學(xué)把不定積分與定積分搞混淆。其實不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運算,本質(zhì)還是導(dǎo)數(shù)的延伸。而真正的積分部分是定積分。因此,各位考生要注意以下的三點:

  一、明晰知識體系

  定積分這章非常重要,考試考查的內(nèi)容多而廣。這章包括:定積分的定義,性質(zhì);微積分基本定理;反常積分;定積分的應(yīng)用。這四個部分各有側(cè)重點。其中定積分的定義是重點;要理解微積分基本定理;要掌握定積分在幾何和物理上面的應(yīng)用。至于反常積分大家了解就行了。

  二、深刻理解知識點

  在掌握了知識體系之后,自然就需要明確具體的重點知識點了。首先是定積分的定義及性質(zhì)。大家需要深刻理解定積分的定義。我覺得同學(xué)們不僅要會用自己的話來表述定義,而且要一步一步的寫出精髓。比如說從定義中體現(xiàn)的思想:微元法。同學(xué)們要理解分割,近似,求和,取極限這四個步驟。同時要知道其幾何意義及定義中需要注意的方面。對定積分定義的考察在每年考研中是必考內(nèi)容。所以希望引起大家的足夠重視。

  至于性質(zhì),大家關(guān)鍵也在于理解。特別是區(qū)間可加性;比較定理;積分中值定理。對這三個性質(zhì)大家一定要知道是怎么來的??佳兄杏嘘P(guān)積分的證明題多多少少會用到這三個性質(zhì)。所以大家只有理解了才懂得在什么時候用。
  然后是微積分基本定理。這個知識點非常重要。因為它定義了一種新的函數(shù):積分上限函數(shù)。而且在一定的條件下,它的導(dǎo)數(shù)就是f(x)。所以我們擴展了函數(shù)類型。那么導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的切線與法線;單調(diào)性;極值;凹凸性等應(yīng)用就可以與積分上限函數(shù)聯(lián)系了。同時提出了牛頓-萊布尼茨公式,使得我們可以用不定積分來計算定積分。希望同學(xué)們要掌握牛頓-萊布尼茨公式的證明過程。
  補充說一點:求定積分常用的方法是基本積分公式;換元積分法(湊微分法和換元積分法);分部積分法。其中換元積分法和分部積分法是重點。大家要理解換元積分法的思想。即我們通過復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式推出了湊微分法;通過三角代換,根式代換等提出了換元積分法。而我們通過相乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推出了分部積分法。所以大家只有知道這些方法是怎么來的才能更好的使用這些方法。接著大家要注意變限積分求導(dǎo)了,最好請大家自己證明下。
  第三個要說的是反常積分。對這一部分,同學(xué)們了解基本定義,會用定積分判斷是否收斂就夠了。最后,是定積分的應(yīng)用。其實就是微元法在幾何以及物理上面的應(yīng)用。同樣的,同學(xué)們要知道數(shù)學(xué)一,數(shù)學(xué)二,數(shù)學(xué)三的區(qū)別。在幾何上,數(shù)學(xué)三只用掌握用定積分求面積和簡單幾何體的體積。而數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二還要求掌握用定積分求曲線弧長,旋轉(zhuǎn)曲面面積。在物理應(yīng)用方面,數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二主要掌握用定積分求變力沿直線做功,抽水做功,液太靜壓力和質(zhì)心問題。但核心是,同學(xué)們一定要掌握微元法的思想。

  三、適量習(xí)題
  在大家理解了重點知識以及明確了考試重點后就需要做題鞏固了。在這里,我堅決反對題海戰(zhàn)術(shù)。因為大家的時間有限并且題海戰(zhàn)術(shù)在沒理解知識點之前是沒用的?,F(xiàn)在社會做事情都講究高效,我希望大家能夠事半功倍。那么針對定積分這章,大家先針對我說的重點知識進行做題鞏固,關(guān)鍵是每做一個題就要理解,要反思,要多想想考察了知識點那些方面。然后對次重點知識輔助做一些題,了解就夠了。

  總之,希望大家經(jīng)過這三個步驟能夠?qū)W習(xí)好定積分,為以后的高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ)。祝大家考研成功!


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