考研數(shù)學：令人頭大的相似、合同、等價

　　摘要：考研數(shù)學里關(guān)于矩陣的相似、合同、等價的關(guān)系有時令大家頭暈腦脹，就需要大家對它們的性質(zhì)、定義要更加清楚，得分才不難。接下來一起看看三者的糾纏吧。

　　關(guān)于矩陣的相似、合同、等價的關(guān)系

　　總結(jié)起來就是一句話

　　相似必合同，合同必等價

　　（反之，則不一定）

　　...........

　　背好這一句話基本可以應(yīng)付70%的填空選擇，至于剩下那30%，則需要對各自的性質(zhì)、定義以及判別的條件有充分的了解。

　　分割線卡通

　　一、等價的定義

　　兩個SxN矩陣A,B等價的充要條件為：

　　存在可逆的s階矩陣p與可逆的n階矩陣Q，使得B=PAQ

　　矩陣A與B等價必須具備的兩個條件

　　(1)矩陣A與B必為同型矩陣(不要求是方陣)

　　(2)存在s階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q，使B=PAQ

　　矩陣等價的性質(zhì)

　　(1)反身性:即A~=A

　　(2)對稱性:若A~=B，則B~=A.

　　(3)傳遞性:若A~=B，B~=C，則A~=C.

　　(4)A等價于B的充要條件是r(A)=r(B)

　　(5)設(shè)A為m*n矩陣，r(A)=r,則A等價于，即存在m階可逆矩陣P,n階可逆矩陣Q，使PAQ=

　　二、合同的定義

　　設(shè)A,B均為n階方陣，若存在n階可逆矩陣p，使得P^TAP=B,

　　則稱矩陣A、B為合同矩陣

　　矩陣A與B合同必須同時具備的兩個條件

　　(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣而且是方陣.

　　(2)存在n階矩陣P:P^TAP=B

　　矩陣合同的性質(zhì)

　　(1)反身性:任意矩陣A都與自身合同.

　　(2)對稱性:如果B與A合同，那么A也與B合同.

　　(3)傳遞性:如果B與A合同，C又與B合同，那么C與A合同.

　　(4)合同的兩矩陣有相同的二次型標準型.

　　(5)任一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣

　　(6)合同矩陣的秩相等

　　三、相似的定義

　　設(shè)A,B均為n階方陣，若存在n階可逆矩陣P，使P^-1AP=B，則稱矩陣A與B為相似矩陣(若n階可逆矩陣P為正交陣，則稱A與B為正交相似矩陣).

　　矩陣A與B相似，必須同時具備兩個條件

　　(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣，而且是方陣

　　(2)存在n階可逆矩陣P，使得P^-1AP=B

　　矩陣相似的性質(zhì)

　　(1)反身性:即A~A

　　(2)對稱性:若A~B，則B~A.

　　(3)傳遞性:若A~B，B~C，則A~C.

　　(4)若矩陣A、B相似，則r(A)=r(B)

　　(5)若矩陣A、B相似，則KA~KB

　　(6)若矩陣A、B相似，則A^m~B^m

　　(7)若矩陣A、B相似，f(x)是一個多項式，則f(A)~f(B)

　　注：

　　(1)與單位矩陣相似的n階矩陣只有單位陣E本身，與數(shù)量矩陣kE相似的n階方陣只有數(shù)量陣kE本身。

　　(2)有相同特征多項式的矩陣不一定相似。

　　這里小編給大家整理成了表格的形式

　　關(guān)于相似必合同，合同必等價的關(guān)系證明


　　相似必等價，等價未必相似

　　證明：

　　那么在什么情況下，等價可以推出相似呢？

　　推論：

　　對于n階方陣A,B，若存在n階可逆矩陣P,Q使PAQ=B,(A與B等價)，且PQ=E(E為n階單位矩陣)，則A與B相似.

　　這個大家就自行證明吧！

　　合同必等價，等價未必合同

　　證明：

　　什么時候等價矩陣是合同的？

　　?只有當?shù)葍r矩陣的正慣性指數(shù)相同時等價矩陣是合同矩陣

　　相似必合同，合同未必相似

　　這里相似必合同有一個條件：

　　例如A與B相似，則存在可逆矩陣P使B=P^-1BP,如果P的逆矩陣與P的轉(zhuǎn)置矩陣不相等，則相似矩陣不是合同矩陣

　　所以：正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣未必是相似矩陣

　　證明：

　　以上，就是對相似合同等價關(guān)系的總結(jié)了，掌握這些，應(yīng)付考試，不在話下！

　　（實習小編：咕咚）