摘要:考研數(shù)學里關(guān)于矩陣的相似、合同、等價的關(guān)系有時令大家頭暈腦脹,就需要大家對它們的性質(zhì)、定義要更加清楚,得分才不難。接下來一起看
作者
佚名
摘要:考研數(shù)學里關(guān)于矩陣的相似、合同、等價的關(guān)系有時令大家頭暈腦脹,就需要大家對它們的性質(zhì)、定義要更加清楚,得分才不難。接下來一起看看三者的糾纏吧。
關(guān)于矩陣的相似、合同、等價的關(guān)系
總結(jié)起來就是一句話
相似必合同,合同必等價
(反之,則不一定)
...........
背好這一句話基本可以應(yīng)付70%的填空選擇,至于剩下那30%,則需要對各自的性質(zhì)、定義以及判別的條件有充分的了解。
分割線卡通
一、等價的定義
兩個SxN矩陣A,B等價的充要條件為:
存在可逆的s階矩陣p與可逆的n階矩陣Q,使得B=PAQ
矩陣A與B等價必須具備的兩個條件
(1)矩陣A與B必為同型矩陣(不要求是方陣)
(2)存在s階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q,使B=PAQ
矩陣等價的性質(zhì)
(1)反身性:即A~=A
(2)對稱性:若A~=B,則B~=A.
(3)傳遞性:若A~=B,B~=C,則A~=C.
(4)A等價于B的充要條件是r(A)=r(B)
(5)設(shè)A為m*n矩陣,r(A)=r,則A等價于,即存在m階可逆矩陣P,n階可逆矩陣Q,使PAQ=
二、合同的定義
設(shè)A,B均為n階方陣,若存在n階可逆矩陣p,使得P^TAP=B,
則稱矩陣A、B為合同矩陣
矩陣A與B合同必須同時具備的兩個條件
(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣而且是方陣.
(2)存在n階矩陣P:P^TAP=B
矩陣合同的性質(zhì)
(1)反身性:任意矩陣A都與自身合同.
(2)對稱性:如果B與A合同,那么A也與B合同.
(3)傳遞性:如果B與A合同,C又與B合同,那么C與A合同.
(4)合同的兩矩陣有相同的二次型標準型.
(5)任一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣
(6)合同矩陣的秩相等
三、相似的定義
設(shè)A,B均為n階方陣,若存在n階可逆矩陣P,使P^-1AP=B,則稱矩陣A與B為相似矩陣(若n階可逆矩陣P為正交陣,則稱A與B為正交相似矩陣).
矩陣A與B相似,必須同時具備兩個條件
(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣,而且是方陣
(2)存在n階可逆矩陣P,使得P^-1AP=B
矩陣相似的性質(zhì)
(1)反身性:即A~A
(2)對稱性:若A~B,則B~A.
(3)傳遞性:若A~B,B~C,則A~C.
(4)若矩陣A、B相似,則r(A)=r(B)
(5)若矩陣A、B相似,則KA~KB
(6)若矩陣A、B相似,則A^m~B^m
(7)若矩陣A、B相似,f(x)是一個多項式,則f(A)~f(B)
注:
(1)與單位矩陣相似的n階矩陣只有單位陣E本身,與數(shù)量矩陣kE相似的n階方陣只有數(shù)量陣kE本身。
(2)有相同特征多項式的矩陣不一定相似。
這里小編給大家整理成了表格的形式
關(guān)于相似必合同,合同必等價的關(guān)系證明
相似必等價,等價未必相似
證明:
那么在什么情況下,等價可以推出相似呢?
推論:
對于n階方陣A,B,若存在n階可逆矩陣P,Q使PAQ=B,(A與B等價),且PQ=E(E為n階單位矩陣),則A與B相似.
這個大家就自行證明吧!
合同必等價,等價未必合同
證明:
什么時候等價矩陣是合同的?
?只有當?shù)葍r矩陣的正慣性指數(shù)相同時等價矩陣是合同矩陣
相似必合同,合同未必相似
這里相似必合同有一個條件:
例如A與B相似,則存在可逆矩陣P使B=P^-1BP,如果P的逆矩陣與P的轉(zhuǎn)置矩陣不相等,則相似矩陣不是合同矩陣
所以:正交相似矩陣必為合同矩陣,正交合同矩陣未必是相似矩陣
證明:
以上,就是對相似合同等價關(guān)系的總結(jié)了,掌握這些,應(yīng)付考試,不在話下!
(實習小編:咕咚)
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