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數(shù)學(xué)高數(shù):你不知道的出題規(guī)律及??碱}型

  摘要:數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三,高數(shù)都是考研數(shù)學(xué)的大頭,根據(jù)往年的數(shù)學(xué)真題分析,發(fā)現(xiàn)高數(shù)命題還是有一定規(guī)律所在的。那么大家就來看看有什么樣的規(guī)律,又有哪些??嫉念}型吧~

  一、高數(shù)命題規(guī)律

  1)側(cè)重對數(shù)一、數(shù)三獨有知識的考查??佳袛?shù)學(xué)一有什么獨有知識?大的模塊有空間解析幾何、多元積分(三重積分、曲線積分和曲面積分);數(shù)三獨有的知識包括經(jīng)濟(jì)應(yīng)用和級數(shù)(相對數(shù)二而言)。比如2014年真題中數(shù)一考了切平面方程,斯托克斯公式還有曲面積分;數(shù)三考了邊際收益和冪級數(shù)求和展開。

  2)考查考生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。說白了就是應(yīng)用題。比方上面提到的考研數(shù)三的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,數(shù)二考到了形心質(zhì)心。前者是導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,后者是定積分的幾何應(yīng)用。

  3)考點覆蓋較全。這提示考生不要有僥幸心理,不要忽略次要考點,要做全面復(fù)習(xí)。這與把握重點是不矛盾的。這里可以把考研政治中的馬克思主義哲學(xué)基本原理用過來:全面復(fù)習(xí)和把握重點的辯證統(tǒng)一。

  二、??碱}型

  ?向量代數(shù)與空間解析幾何

  1、理解向量的概念及其表示。

  2、掌握向量的運算(線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積),了解兩個向量垂直、平行的條件;掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運算的方法。

  3、掌握平面方程和直線方程及其求法,會利用平面直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問題。

  4、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其圖形,會求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

  5、了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程;了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影,并會求其方程。

  ?微分方程

  1.求典型類型的一階微分方程的通解或特解:這類問題首先是判別方程類型,當(dāng)然,有些方程不直接屬于我們學(xué)過的類型,此時常用的方法是將x與y對調(diào)或作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把原方程化為我們學(xué)過的類型;

  2.求解可降階方程;

  3.求線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解;

  4.根據(jù)實際問題或給定的條件建立微分方程并求解;

  ?無窮級數(shù)

  1.判定數(shù)項級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂、條件收斂;

  2.求冪級數(shù)的收斂半徑,收斂域;

  3.求冪級數(shù)的和函數(shù)或求數(shù)項級數(shù)的和;

  4.將函數(shù)展開為冪級數(shù)(包括寫出收斂域);

  5.將函數(shù)展開為傅立葉級數(shù),或已給出傅立葉級數(shù),要確定其在某點的和(通常要用狄里克雷定理);

  ?多元函數(shù)的積分學(xué)

  1.二重、三重積分在各種坐標(biāo)下的計算,累次積分交換次序;

  2.第一型曲線積分、曲面積分計算;

  3.第二型(對坐標(biāo))曲線積分的計算,格林公式,斯托克斯公式及其應(yīng)用;

  4.第二型(對坐標(biāo))曲面積分的計算,高斯公式及其應(yīng)用;

  5.梯度、散度、旋度的綜合計算;

  6.重積分,線面積分應(yīng)用;求面積,體積,重量,重心,引力,變力作功等。

  ?多元函數(shù)的微分學(xué)

  1.判定一個二元函數(shù)在一點是否連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)是否存在、是否可微,偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù);

  2.求多元函數(shù)(特別是含有抽象函數(shù))的一階、二階偏導(dǎo)數(shù),求隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù);

  3.求二元、三元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度;

  4.求曲面的切平面和法線,求空間曲線的切線與法平面,該類型題是多元函數(shù)的微分學(xué)與前面向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題,應(yīng)結(jié)合起來復(fù)習(xí);

  5.多元函數(shù)的極值或條件極值在幾何、物理與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用題;

  6.求一個二元連續(xù)函數(shù)在一個有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。

  ?一元函數(shù)積分學(xué)

  1.計算不定積分、定積分及廣義積分;

  2.關(guān)于變上限積分的題:如求導(dǎo)、求極限等;

  3.有關(guān)積分中值定理和積分性質(zhì)的證明題;

  定積分應(yīng)用題:

  計算面積,旋轉(zhuǎn)體體積,平面曲線弧長,旋轉(zhuǎn)面面積,壓力,引力,變力作功等;

  綜合性試題。

  向量代數(shù)和空間解析幾何

  計算題:

  1.求向量的數(shù)量積,向量積及混合積;

  2.求直線方程,平面方程;

  3.判定平面與直線間平行、垂直的關(guān)系,求夾角;

  4.建立旋轉(zhuǎn)面的方程;

  與多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用或與線性代數(shù)相關(guān)聯(lián)的題目。

  ?一元函數(shù)微分學(xué)

  1.求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(包括高階導(dǎo)數(shù)),隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo),特別是分段函數(shù)和帶有絕對值的函數(shù)可導(dǎo)性的討論;

  2.利用洛比達(dá)法則求不定式極限;

  3.討論函數(shù)極值,方程的根,證明函數(shù)不等式;

  4.利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關(guān)命題,如“證明在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點滿足……”,此類問題證明經(jīng)常需要構(gòu)造輔助函數(shù);

  5.幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用問題,解這類問題,主要是確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件,判定所討論區(qū)間;

  6.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形,求曲線漸近線。

  ?函數(shù)、極限與鏈接

  1.求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù);

  2.求極限或已知極限確定原式中的常數(shù);

  3.討論函數(shù)的連續(xù)性,判斷間斷點的類型;

  4.無窮小階的比較;

  5.討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點的個數(shù),或確定方程在給定區(qū)間上有無實根。

  這一部分更多的會以選擇題,填空題,或者作為構(gòu)成大題的一個部件來考核,復(fù)習(xí)的關(guān)鍵是要對這些概念有本質(zhì)的理解,在此基礎(chǔ)上找習(xí)題強(qiáng)化。

  三、如何判斷自己掌握了知識點?

  大家可任選一道考研數(shù)學(xué)真題,該題可能有一定難度和綜合性,但其分解之后的考點都在考綱規(guī)定的考點范圍內(nèi),說明考研數(shù)學(xué)重基礎(chǔ)。

  那么打牢基礎(chǔ)是否能輕松應(yīng)對考試呢?不夠,還需要在此基礎(chǔ)上總結(jié)方法。比如中值定理相關(guān)的證明題是令不少考生頭痛的一類題。各位考研er把基礎(chǔ)內(nèi)容(閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)掌握好后(定理內(nèi)容能完整表述,定理本身會證),直接做真題,很可能沒什么思路,不知道朝哪個方向想。

  知識從理解到應(yīng)用有一個過程:理解了不代表會用,應(yīng)用還有個方向問題——在哪方面應(yīng)用呢?這時真題的價值就顯現(xiàn)出來了:真題是很好的素材,通過對歷年真題的分析總結(jié),可以對真題的具體應(yīng)用有直觀認(rèn)識,對真題的命題思路有全面認(rèn)識。

  換句話說,通過對考研數(shù)學(xué)真題“歸納題型,總結(jié)方法”可以讓大家知道哪道題目往哪個方向想。以中值定理相關(guān)的證明這類題型為例,如果總結(jié)到位了,就能達(dá)到如下效果:拿到一道此類型的題目,一般可以從條件出發(fā)進(jìn)行思考,看要證的式子是含一個中值還是兩個。若是一個,再看含不含導(dǎo)數(shù),若含導(dǎo)數(shù),優(yōu)先考慮羅爾定理,否則考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(主要是兩個定理——介值定理和零點存在定理);若待證的式子含兩個中值,則考慮拉格朗日定理和柯西定理。

  經(jīng)過這篇干貨,大家對高數(shù)的把握是不是大大加深了呢?找到合適的方法與技巧,數(shù)學(xué)對你來說沒什么困難!

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