微分中值定理一直以來(lái)是高數(shù)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn),大家對(duì)他沒(méi)有免疫力,見(jiàn)到這種題就中槍。因?yàn)槲⒎种兄刀ɡ磉@部分主要考證明題,大家看到證明題
作者
佚名
微分中值定理一直以來(lái)是高數(shù)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn),大家對(duì)他沒(méi)有免疫力,見(jiàn)到這種題就中槍。因?yàn)槲⒎种兄刀ɡ磉@部分主要考證明題,大家看到證明題,就直接放棄。這和同學(xué)們不理解微分中值定理以及各定理之間的關(guān)系有關(guān)。下面我為大家整理了中值定理這部分考研的命題方向和特點(diǎn),為大家提出系統(tǒng)化的思路方法。
首先我們要知道微分中值定理有哪些,并且知道這些定理的證明思想。費(fèi)馬引理是微分中值定理的基礎(chǔ)。微分中值定理有3個(gè),分別是羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理。
1、羅爾中值定理若滿足:(1)閉區(qū)間上連續(xù);(2)開(kāi)區(qū)間可導(dǎo);(3)則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得。
在這里我們要注意羅爾中值定理的條件,區(qū)間問(wèn)題不容忽視,而且我們還要會(huì)證明。這里我簡(jiǎn)要說(shuō)明一下,這個(gè)證明利用了閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),最值性和介值性定理。
2、拉格朗日中值定理若滿足:(1)閉區(qū)間上連續(xù);(2)開(kāi)區(qū)間可導(dǎo),則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得。在這里我們可以看出羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。我們要知道這個(gè)定理的證明思想,并且在2009年數(shù)一二三就考了拉格朗日中值定理的證明。其次我們還要掌握拉格朗日中值定理的變形。下面我們來(lái)證明一下拉格朗日中值定理。
證明:構(gòu)造輔助函數(shù),在上連續(xù),在上可導(dǎo),且則由羅爾中值定理得,在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,證畢。在微分中值定理的證明題中一般都會(huì)用到這個(gè)思想就是構(gòu)造輔助函數(shù),目的是要用到羅爾中值定理。其實(shí)我們這里的輔助函數(shù)可以有很多種,比如我們還可寫(xiě)成,只要根據(jù)結(jié)論構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)滿足羅爾中值定理的要求就可以。
3、柯西中值定理若,滿足:(1)閉區(qū)間上連續(xù);(2)開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)且,則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得。同樣我們可以看出拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況,令即可。下面我們來(lái)證明一下柯西中值定理。
證明:構(gòu)造輔助函數(shù),顯然滿足在閉區(qū)間上連續(xù),開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)且滿足羅爾中值定理,則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,即,證畢。在這里輔助函數(shù)我們也有很多種,滿足羅爾中值定理就可以。
柯西中值定理
拉格朗日中值定理
羅爾中值定理
從上面我們可以得出三個(gè)定理之間的關(guān)系為
在考研數(shù)學(xué)中,微分中值定理只要記住理解他們,注意他們使用的條件,以及證明的思想(構(gòu)造輔助函數(shù)),我覺(jué)得這種證明題我們就不要擔(dān)心了。
祝大家考研成功!
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