2015考研數(shù)學(xué)一考試大綱

　　五、多元函數(shù)微分學(xué)
　　考試內(nèi)容
　　多元函數(shù)的概念　二元函數(shù)的幾何意義　二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)　多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分　全微分存在的必要條件和充分條件
　　多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法  二階偏導(dǎo)數(shù)　方向?qū)?shù)和梯度　空間曲線的切線和法平面　曲面的切平面和法線　二元函數(shù)的二階泰勒公式　多元函數(shù)的極值和條件極值　多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用
　　考試要求
　　1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義．
　　2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．
　　3．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性．
　　4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法．
　　5．掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法．
　　6．了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．
　　7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程．
　　8．了解二元函數(shù)的二階泰勒公式．
　　9．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．
　　六、多元函數(shù)積分學(xué)
　　考試內(nèi)容
　　二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用　兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算　兩類曲線積分的關(guān)系　格林（Green）公式　平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件　二元函數(shù)全微分的原函數(shù)　兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算  兩類曲面積分的關(guān)系　高斯（Gauss）公式　斯托克斯（Stokes）公式　散度、旋度的概念及計(jì)算  曲線積分和曲面積分的應(yīng)用
　　考試要求
　　1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，，了解二重積分的中值定理．
　　2．掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）．
　　3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系．
　　4．掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法．
　　5．掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)．
　　6．了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計(jì)算曲面積分的方法，并會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分．
　　7．了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算．
　　8．會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）．
　　七、無(wú)窮級(jí)數(shù)
　　考試內(nèi)容
　　常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念　收斂級(jí)數(shù)的和的概念　級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件　幾何級(jí)數(shù)與 級(jí)數(shù)及其收斂性　正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂　函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念　冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域　冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)　冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法　初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式  函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)　狄利克雷（Dirichlet）定理　函數(shù)在 上的傅里葉級(jí)數(shù)　函數(shù)在 上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)
　　考試要求
　　1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件．
　　2．掌握幾何級(jí)數(shù)與 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件．
　　3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法．
　　4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法．
　　5．了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系．
　　6．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念．
　　7．理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法．
　　8．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和．
　　9．了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件．
　　10．掌握麥克勞林（Maclaurin）展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)．
　　11．了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在 上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在 上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式．
　　八、常微分方程
　　考試內(nèi)容
　　常微分方程的基本概念　變量可分離的微分方程　齊次微分方程　一階線性微分方程　伯努利（Bernoulli）方程　全微分方程　可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程　可降階的高階微分方程　線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理　二階常系數(shù)齊次線性微分方程　高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程　簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 歐拉（Euler）方程　微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用
　　考試要求
　　1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．
　　2．掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法．
　　3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程．
　　4．會(huì)用降階法解下列形式的微分方程： 和 ．
　　5．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)．
　　6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程．
　　7．會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．
　　8．會(huì)解歐拉方程．
　　9．會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．

　　?線性代數(shù)
　　一、行列式
　　考試內(nèi)容
　　行列式的概念和基本性質(zhì)　行列式按行（列）展開(kāi)定理
　　考試要求
　　1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)．
　　2．會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開(kāi)定理計(jì)算行列式．
　　二、矩陣
　　考試內(nèi)容
　　矩陣的概念　矩陣的線性運(yùn)算　矩陣的乘法　方陣的冪　方陣乘積的行列式　矩陣的轉(zhuǎn)置　逆矩陣的概念和性質(zhì)　矩陣可逆的充分必要條件　伴隨矩陣　矩陣的初等變換　初等矩陣　矩陣的秩　矩陣的等價(jià)　分塊矩陣及其運(yùn)算
　　考試要求
　　1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣以及它們的性質(zhì)．
　　2．掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)．
　　3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣．
　　4．理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．
　　5．了解分塊矩陣及其運(yùn)算．
　　三、向量
　　考試內(nèi)容
　　向量的概念  向量的線性組合與線性表示  向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)  向量組的極大線性無(wú)關(guān)組  等價(jià)向量組  向量組的秩  向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系  向量空間及其相關(guān)概念   維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換  過(guò)渡矩陣 向量的內(nèi)積   線性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法  規(guī)范正交基  正交矩陣及其性質(zhì)
　　考試要求
　　1．理解 維向量、向量的線性組合與線性表示的概念．
　　2．理解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法．
　　3．理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩．
　　4．理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系．
　　5．了解 維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念．
　　6．了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡矩陣．
　　7．了解內(nèi)積的概念，掌握線性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法．
　　8．了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質(zhì)．
　　四、線性方程組
　　考試內(nèi)容
　　線性方程組的克拉默（Cramer）法則  齊次線性方程組有非零解的充分必要條件  非齊次線性方程組有解的充分必要條件  線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)  齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解  解空間  非齊次線性方程組的通解
　　考試要求
　　1．會(huì)用克拉默法則．
　　2．理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件．
　　3．理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法．
　　4．理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念．
　　5．掌握用初等行變換求解線性方程組的方法．
　　五、矩陣的特征值和特征向量
　　考試內(nèi)容
　　矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)  相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)  矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣  實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對(duì)角矩陣
　　考試要求
　　1．理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量．
　　2．理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法．
　　3．掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)．
　　六、二次型
　　考試內(nèi)容
　　二次型及其矩陣表示  合同變換與合同矩陣  二次型的秩  慣性定理  二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形  用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形  二次型及其矩陣的正定性
　　考試要求
　　1．掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變換與合同矩陣的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及慣性定理．
　　2．掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．
　　3．理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法．