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碎片挑戰(zhàn):常見數(shù)學小問題集錦(1)

  摘要:在數(shù)學備考的過程中,我們大都會把自己沉浸習題的海洋里,做題,查答案,做題,查答案,如此反復(fù),不免枯燥。于是,小編找來一些有趣的數(shù)學小題目,快利用你的碎片時間來挑戰(zhàn)一下吧。

 

  1、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)有界,{xn}為一數(shù)列。下面命題正確的是(  )
  A、若{xn}收斂,則{f(xn}收斂。

  B、若{xn}單調(diào),則{f(xn)}收斂。

  C、若{f(xn)收斂,則{xn}收斂。

  D、若{f(xn)}單調(diào),則{xn}收斂。

  解題思路
 ?。?)——(C)(D)都不對的關(guān)鍵在于:在本題條件下,就算相應(yīng)的函數(shù)值列收斂或單調(diào),自變量列xn可以是趨向正無窮的,沒有極限。

  (2)——(A)情形只知道自變量列xn收斂,它可能不是單調(diào)的。

  單調(diào)的函數(shù)不一定連續(xù)。且,“如果單調(diào)函數(shù)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)一點x0間斷,則只能是跳躍間斷。”(實際上,如果函數(shù)在x0的左右極限相等,則f(x0)只能等于極限值,否則就破壞了單調(diào)性。)

  設(shè)想xn既有子列從左邊,又有子列從右邊趨向點x0,則自變量列收斂于點x0而相應(yīng)的函數(shù)值列卻不收斂。故(A)錯。

  反例:x小于0時f=x,f(0)=1,x大于0時f=2+x

 ?。?)——(B)對。在本題條件下,若自變量列單調(diào),相應(yīng)的函數(shù)值列必定也單調(diào)。且是有界的。

  2、f(x)在[a,b]上可微,且f‘(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加,又f(a)=f(b)=A(常數(shù)),證明,在(a,b)內(nèi),恒有f(x)<A.

  解題思路
  這是個運用“構(gòu)造法”的好題。

  f(x)在[a,b]上可微,自然連續(xù)。f(a)=f(b)=A,故由洛爾定理,(a,b)內(nèi)存在一點c,f′(c)=0

  已知f′(x)單增,故零點唯一。且在(a,c)內(nèi)f′(x)<0,f(x)單減,f(x)<f(a)

  而在(c,b)內(nèi)f′(x)>0,f(x)單增,f(x)<f(b)

  從而在(a,b)內(nèi),恒有f(x)<A.

  3、計算極限小總結(jié)
  (1)非零的因式先求極限。

 ?。?)0/0型未定式題目的兩個主要類型——

  分子(或分子分母各)是“等價無窮小相減產(chǎn)生的高階無窮小”——

  應(yīng)對手段:連續(xù)使用洛必達法則。

  修練方法:利用五個常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式,盡可能多記一些等價無窮小

  分子分母是“不同階的無窮小的線性組合”,(無窮小多項式)——

  應(yīng)對手段:(化零項法)分子分母同除以商式中的最低階的無窮小,各項分別取極限。

  4、(每段是初等函數(shù)的)分段函數(shù)求導,分界點處用定義計算,各段用法則與公式。老老實實地記與做,既簡明又少犯錯誤。
  當然,你可以懂得更細一點??蓪б欢ㄟB續(xù)。不連續(xù)必然不可導。連續(xù)是討論可導性的前提。

  函數(shù)在點a可導的充分必要條件是左右導數(shù)存在且相等。

  在定義分界點a的一側(cè),比如右則。可以用定義求得右導數(shù)。同時,在右側(cè)這一段內(nèi),你用法則與公式求出了導函數(shù)。自然就會產(chǎn)生一個想法,能否以此求極限得到點a的導數(shù)。這是錘煉知識及思維細密性的好時機。

 ?。?)如果求極限,是求導函數(shù)在點a的右極限。這個右極限存在嗎?

 ?。?)按照定義求右導數(shù)。“右導數(shù)”與“導函數(shù)在點a的右極限”是兩回事。

 ?。?)如果這個右極限存在,它和“右導數(shù)”相等嗎?

  用拉格郎日公式可以證明,“如果導函數(shù)在點a的右極限存在,則函數(shù)在點a的右導數(shù)一定存在,且兩者相等。”(一個好練習題?。?br />
  左側(cè)可以類似討論。

  結(jié)論:驗證了分段函數(shù)在分界點a連續(xù)后,在兩邊區(qū)間內(nèi)各自求導。令x趨于a,分別求導函數(shù)的極限。若兩者相等,它就是函數(shù)在點a的導數(shù)。若兩者不等,函數(shù)在點a不可導。

  前提很清晰,這樣處理也可以。

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