考研線代知識點(diǎn)之特征值和特征向量

　　摘要：考研數(shù)學(xué)在整個(gè)初試過程中占得比重是比較大的，相信都引起了大家足夠多的重視。線性代數(shù)作為考數(shù)學(xué)必考的科目，得分率相較高數(shù)來說也是比較高的，因此希望大家可以盡量抓住線代這部分的分?jǐn)?shù)，尤其是基礎(chǔ)題、簡單題。今天幫幫為大家說一說特征值和特征向量。

　　一、矩陣的特征值與特征向量問題

　　1.矩陣的特征值與特征向量的概念理解以及計(jì)算問題

　　這一部分要求會(huì)求給定矩陣的特征值與特征向量，常考的題型有數(shù)值型矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算和抽象型矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算。

　　若給定的矩陣是數(shù)值型的矩陣，則一般的方法是通過求矩陣特征方程的根得到該矩陣的特征值，然后再通過求解齊次線性方程組的非零解得到對應(yīng)特征值的特征向量。

　　若給定的矩陣是抽象型的，則在求特征值與特征向量的時(shí)候常用的方法是通過定義，但此時(shí)需要考慮的是特征值與特征向量的性質(zhì)以及應(yīng)用。

　　2.矩陣(方陣)的相似對角化問題

　　這里要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，會(huì)判斷給定的矩陣是否可以相似對角化，另外還要會(huì)求矩陣相似對角化的計(jì)算問題，會(huì)求可逆陣以及對角陣。尤其需要掌握的是通過相似的結(jié)論，反推一些參數(shù)，比如相似可以得到：秩、行列式、特征值、跡等相等，解題中往往是通過這些量先得到一些參數(shù)。

　　事實(shí)上，矩陣相似對角化之后還有一些應(yīng)用，主要體現(xiàn)在矩陣行列式的計(jì)算或者求矩陣的方冪上，這些應(yīng)用在歷年真題中都有不同的體現(xiàn)。

　　3.實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化問題

　　其實(shí)質(zhì)還是矩陣的相似對角化問題，與2不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求考生除了掌握實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化外，還要掌握實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，在考試的時(shí)候會(huì)經(jīng)常用到這些考點(diǎn)的。

　　這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，即給定一個(gè)實(shí)對稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對角陣；也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A。

　　另外由于實(shí)對稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A.最重要的是，掌握了實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化就相當(dāng)于解決了實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題。

　　二、二次型

　　1.二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題

　　二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題與矩陣的對角化問題緊密相連，因此化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問題就轉(zhuǎn)化成了實(shí)對稱矩陣的相似對角化問題?；涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)形有兩種方法：一是正交變換法；二是配方法。

　　從歷年考題來看，利用正交變化法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是考研線性代數(shù)考查的重要方向，但是其實(shí)質(zhì)就是實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化問題。

　　也就是說實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題與實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化問題是同一問題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現(xiàn)的，因此掌握了實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化那么實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題也就迎刃而解了。

　　另外，在沒有其他要求的情況下，利用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便一些。本章節(jié)的內(nèi)容除了會(huì)以大題的形式出現(xiàn)外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。

　　2.二次型的正定性判斷

　　此處的考點(diǎn)主要出現(xiàn)在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數(shù)值型二次型；二是抽象的二次型。

　　對于具體的數(shù)值型二次型來說，一般可通過判斷其順序主子式是否全部大于零來判別二次型是否為正定二次型。

　　而抽象的二次型的正定性判斷可以通過利用其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形中的系數(shù)是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當(dāng)然二次型的正定性判斷問題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件的基礎(chǔ)之上的

　　通過上面的大致梳理，同學(xué)們應(yīng)該基本上了解了這兩個(gè)章節(jié)的出題思路，在復(fù)習(xí)過程中要有針對性的復(fù)習(xí)，不要鉆牛角尖，比如去證明一下為什么相似可以得到跡相等，為什么合同的充要條件是順序主子式大于零等，這就屬于本末倒置拉。
　
       附：矩陣的特征值與特征向量有關(guān)公式

　　（實(shí)習(xí)小編：加油豬）