線代大神一句話點睛：同濟版線代習(xí)題

　　摘要：昨天給大家推薦了一位大神總結(jié)的考研數(shù)學(xué)線代知識的完整框架，今天分享后續(xù)的內(nèi)容，即線性代數(shù)習(xí)題的深度解讀。

　　同濟五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（一）
　　1、利用對角線法則計算行列式，可以通過幾道小題熟悉一下把行列式化成上（下）三角的過程，基本題。

　　2、3題涉及排列以及行列式的展開準(zhǔn)則，不是太重要，了解即可。

　　4、5、6題是一些計算行列式的練習(xí)，不同特點的行列式通常有不同的方法，常見的就是化為上（下）三角，按行（列）展開，某一行（列）是和的形式可進(jìn)行拆分，基本題，要通過這些練習(xí)來熟練行列式的運算這一塊。5題雖然是以方程形式給出，但考察點還是計算。

　　7、行列式性質(zhì)的應(yīng)用，比較重要的題型，重在對思維的訓(xùn)練，而且該題的結(jié)論很常用，最好掌握。

　　8、一些難度較高的行列式的計算題，涉及到不少技巧，而這些技巧通常初學(xué)者是想不到的，這時候可以看看答案，體會一下答案的做法，對這塊內(nèi)容的要求和不定積分是類似的。

　　9、設(shè)計巧妙的題目，隱含考點是行列式按行展開的性質(zhì)：若是相同行（列）的元素和代數(shù)余子式對應(yīng)相乘求和，結(jié)果是行列式的值；若是不同行（列）的元素和代數(shù)余子式對應(yīng)相乘求和，結(jié)果為0。注意此題要求的結(jié)果是第三行的代數(shù)余子式的某種組合，而根據(jù)代數(shù)余子式的定義可知，這與題給的行列式中的第三行的元素是無關(guān)的，那就可以根據(jù)需要把第三行的元素替換為前面要求的式子中的那些系數(shù)，這樣問題就簡化為求一個新的行列式，而無需煩瑣的進(jìn)行四次求代數(shù)余子式的運算。此題技巧性較強，但這個構(gòu)思方法值得掌握。

　　10、克蘭姆法則的應(yīng)用，歸根結(jié)底還是計算行列式。

　　11、12題是通過行列式來判斷齊次方程組的解的情況，基本題，在已經(jīng)復(fù)習(xí)完一遍線代后也可以用其它方法（化階梯行、求秩）來做。

　　總的來說，第一章的習(xí)題大都非?；?，集中于計算層面的考察，沒有理解上的難度。

　　同濟五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（二）
　　1、矩陣乘法的基本練習(xí)，簡單題，但計算很容易出錯，不可輕視，（5）小題實際上就是第五章要接觸的二次型。

　　2、直接考察矩陣相關(guān)運算，基本題。

　　3、矩陣的乘法實際上是表示一個線性變換，題目給出了從y到x的變換，還給出了從z到y(tǒng)的變換，要求z到x的變換。既然一個矩陣可以表示一個線性變換，兩個矩陣的乘積即可理解為兩個變換的疊加，這也是提供了一個側(cè)面去理解矩陣相乘的意義。

　　4、5題實際上都是通過一些具體的例子來加深對矩陣運算的理解，比如矩陣乘法不能交換、不能像數(shù)乘那樣約去因子，等等，這些例子是比較重要的，因為有時能在考場上派上用場，需要熟悉。

　　6、7題是求矩陣乘方的題目，基本題，但要注意些適當(dāng)?shù)募记?，比如拆成兩個特殊矩陣的和，能簡化運算。

　　8、9是關(guān)于對稱陣概念的考查，不難但重要，因為這類題即是線代里證明題的代表：幾乎都要從定義出發(fā)證明。所以從這兩道題得到的啟發(fā)是要把線代上的每個知識點都摳得足夠細(xì)，了然于心。

　　10、11、12都是矩陣求逆的計算題，只不過表達(dá)方式不同，10題是直接提出要求，11題是以矩陣方程的形式來暗示求逆，12題則從線性方程組的角度來暗示求逆。求逆是錯誤率很高的一類題目，所以需要重點練習(xí)。

　　13、和3題類似，矩陣的乘法實際上是表示一個線性變換，題目給出了從y到x的變換——可以用一個矩陣表示，反過來求x到y(tǒng)的變換，求逆陣即可。此題的另外一個暗示：要能夠熟練的掌握從方程組到矩陣的寫法，即矩陣方程x=Ay代表一個線性方程組，或者說一個線性變換，對這兩種寫法都要能夠看到一個馬上反應(yīng)到另一個。

　　14、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關(guān)系，同時把行列式加進(jìn)來，綜合性較強的重要題型。

　　15、16解簡單的矩陣方程，注意先對已知等式做一些適當(dāng)?shù)淖冃?，基本題。

　　14、15證明矩陣可逆，從定義出發(fā)即可，注意從題目中體會思路。

　　16、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關(guān)系，同時把行列式加進(jìn)來，綜合性較強的重要題型。

　　17、18稍微復(fù)雜一些的矩陣方程，因為其中涉及到伴隨陣，但也不難，利用好伴隨陣和逆陣的關(guān)系即可簡化，此二題的難度接近考研中的填空題。

　　19、20是矩陣的乘方（多項式實質(zhì)也是乘方）運算，在復(fù)習(xí)完一遍線代后再看發(fā)現(xiàn)這其實就是特征值特征向量（對角化）的一個應(yīng)用，實際上特征值問題本來就可以理解為是為了尋找矩陣乘方運算的捷徑而發(fā)展起來的，只不過后來發(fā)現(xiàn)特征值還有許多其它很好的用處。

　　21、22證明矩陣可逆，從可逆的定義出發(fā)即可，即若能找到某一矩陣與已知矩陣的乘積為單位陣，那么已知矩陣肯定可逆，注意從這兩道題目中體會這種常用的思路。

　　23、24題本身的證明是從定義出發(fā)，更重要的是這兩道題可以作為結(jié)論記的，線代的考研題目常涉及這兩個命題。在線代的學(xué)習(xí)中，把握好一些不是課本上正面給出（如出現(xiàn)于習(xí)題中）的命題是很有好處的。

　　25、26、27、28都是對分塊矩陣運算的考查，作為適當(dāng)?shù)木毩?xí)，是必要的。在分塊矩陣這部分知識點特別要注意的是：要能夠根據(jù)問題的需要采取適當(dāng)?shù)姆謮K方式，典型的如行分塊和列分塊，一個線性方程組可以用矩陣Ax=b來表示，一個矩陣方程AX=B則可看作是若干個線性方程組A（x1x2。。。xn）=（b1b2。。。bn）同時成立的結(jié)果，當(dāng)然這只是一個典型的里子，其它還有很多類似的點也要熟練到能夠在頭腦中隨時切換，以適應(yīng)不同的解題或理解需要。

　　和第一章類似，第二章的學(xué)習(xí)也主要集中在計算層面上，我們可以這樣來理解，前兩章的內(nèi)容主要是教會我們一些線性代數(shù)中基本的運算規(guī)則，就如我們以前學(xué)數(shù)的加減乘除一樣，這些規(guī)則當(dāng)然是認(rèn)為規(guī)定的，但是又是在解決某些實際問題的過程中會大量用到的，所以有必要先統(tǒng)一進(jìn)行了解和學(xué)習(xí)，比如求行列式可以幫助我們解方程，求矩陣的乘積可以幫助我們進(jìn)行坐標(biāo)變換，等等。

　　同濟五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（三）
　　1、用初等變換把矩陣化為最簡行階梯形，基本運算的練習(xí)，實際上也可以化為階梯行而不一定非要最簡，這類計算要多加練習(xí)，需純熟掌握。

　　2、3表面上是要求一個能使已知矩陣化為行最簡形的可逆陣，實際上是考察初等矩陣，因為化為行最簡形的過程就是初等變換過程，對應(yīng)的是一系列初等矩陣的乘積，把這一過程搞清楚了，要求的矩陣也就相應(yīng)清楚了。要知道一個初等矩陣對應(yīng)一個初等變換，其逆陣也是，從這個意義上去理解可以有效解決很多問題。

　　4、求矩陣的逆陣的第二種方法（第一種是伴隨陣），基本題，同時建議把這兩種方法的來龍去脈搞清楚（書上相應(yīng)章節(jié)有解釋），即為什么可以通過這兩種方法求逆陣。

　　5、6是解矩陣方程，關(guān)鍵還是求逆，復(fù)習(xí)過一遍線代的同學(xué)就不用拘泥于一種方法了，選擇自己習(xí)慣的做法即可。

　　7、考察矩陣秩的概念，所以矩陣的秩一定要搞清楚：是不為零的子式的最高階數(shù)。所以秩為r的話只需要有一個不為零的r階子式，但所有的r+1階子式都為零；至于r-1階子式，也是有可能為零的，但不可能所有的都為零，否則秩就是r-1而不是r了。

　　8、還是涉及矩陣的秩，矩陣減少一行，秩最多減1，也可能不減，不難理解，但自己一定要在頭腦中把這個過程想清楚。

　　9、主要考查矩陣的秩和行（列）向量組的秩的關(guān)系，實際上它們是一致的，因為已經(jīng)知道的兩個向量是線性無關(guān)的，這樣此題就轉(zhuǎn)化為一個簡單問題：在找兩個行向量，與條件中的兩個行向量組成的向量組線性無關(guān)，最后由于要求方陣，所以還要找一個向量，與前面四個向量組和在一起則線性相關(guān)，最容易想到的就是0向量了。

　　10、矩陣的秩是一個重要而深刻的概念，它能夠反映一個矩陣的最主要信息，所以如何求矩陣的秩也就相應(yīng)的是一類重要問題。矩陣的初等行（列）變換都不會改變其秩，所以可以混用行、列變化把矩陣化為最簡形來求出秩。

　　11題是一個重要命題，經(jīng)常可以直接拿來用，至于它本身的證明，可以從等價的定義出發(fā)：等價是指兩個矩陣可以經(jīng)過初等變換互相得到，而初等變換是不改變矩陣的秩的，所以等價則秩必相等。實際上11題因為太過常用，以至于我們常常認(rèn)為秩相等才是等價的定義，不過既然是充分必要條件，這樣理解也并無不可。

　　12、選取合適的參數(shù)值來確定矩陣的秩，方法不止一種，題目不難但比較典型。

　　13、14題是求解齊次、非齊次方程組的典型練習(xí)，務(wù)必熟練掌握。

　　15、線性方程組的逆問題，即已知解要求寫出方程，把矩陣的系數(shù)看做未知數(shù)來反推即可，因為基礎(chǔ)解系中自由未知量的個數(shù)和有效方程正好是對應(yīng)的，個人感覺這類題不太重要。

　　16、17、18題是線性方程組的一類典型題，考研常見題型，討論不同參數(shù)取值時解的情況，要熟練掌握這類題目。

　　19、證明本身不是很重要，重要的是由題目得到的啟示：由一個向量及其轉(zhuǎn)置（或一個列向量一個行向量）生成的矩陣其秩一定是1。這實際上也不難理解，矩陣的秩是1意味著每行（或每列）都對應(yīng)成比例，即可以寫成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系數(shù)，反過來也一樣，這個大家可自行寫一些具體的例子驗證，加深印象。另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩陣，而行向量乘列向量生成的是數(shù)。

　　20、考察的是矩陣的運算對矩陣秩的影響，抓住R（AB）〈=min（R（A），R（B））這個關(guān)鍵命題即可?；蛘邚耐夥匠探M角度出發(fā)，即要證明兩個矩陣秩相等，可證其方程組同解。

　　21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法證明，這是易犯的錯誤之一。實際上該題考察的還是方程組只有零解的條件：滿秩。關(guān)鍵一步在于把條件改寫為A（X-Y）=0

　　前兩章的習(xí)題以鍛煉計算能力為主，從第三章開始理解層面的內(nèi)容逐漸增多，很多概念要引起重視。

　　同濟五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（四）
　　首先說一下，第四章的精華就在于勾勒出了向量組、矩陣和線性方程組之間的關(guān)系，它們共同形成一個線性代數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò)，習(xí)題四中的證明題基本上都是對思維的鍛煉，做好這些證明題有助于加深對線代知識點相互關(guān)系的理解，要重點對待。

　　1、涉及一個重要的知識轉(zhuǎn)換，即一個向量能否被另一個向量組線性表出的問題實際上就是一個線性方程組是否有解的問題，同時，一個向量組是否能被另一個向量組線性表出的問題實際上就是兩個向量組的秩的比較問題，所以此題即轉(zhuǎn)化為考察兩個向量組的秩的大小。因為我們知道一個重要的事實：一個向量組不可能由比它秩更小的向量組來線性表出，例如，三維空間里的向量（秩是3）永遠(yuǎn)不可能由平面上的向量（秩是2）來表出。

　　2、考察向量組的等價，搞清楚何為向量組等價，直接驗證即可，基本題。另外可以發(fā)散一下思維，向量組等價和矩陣等價有何不同？哪個命題的結(jié)論更強？實際上向量組等價則對應(yīng)矩陣一定等價，反之未必。

　　3、與線性表出有關(guān)的命題，一般用反證法，這類題目可以有效的鍛煉解題思路，如果不會要重點體會答案給出的方法和思路。

　　4、5題涉及線性相關(guān)和線性無關(guān)的判斷，實際上還是轉(zhuǎn)化為方程組有解無解的問題，基本題。

　　6題考察對兩個向量線性相關(guān)的理解，實際上就是對應(yīng)成比例，但實際上很多類似的題目不僅僅局限于兩個向量，此題不是太有代表性，了解一下即可。

　　7、8涉及到一些相關(guān)和無關(guān)的命題判斷，重點在于理解題干的意思，如8（1）的錯誤在于放大了線性相關(guān)的結(jié)論，因為線性相關(guān)只需要至少有一個向量可由其余向量表示，而不一定能確定到底是哪個向量能用其余向量表示，類似的去理解清楚其余幾個說法要表達(dá)的意思，這是第一要務(wù)。至于反例倒在其次，可以通過參考書的答案看看，了解下有這樣的反例即可。

　　9、10題是證明線性相關(guān)線性無關(guān)的經(jīng)典題，可先假設(shè)其線性組合為零，然后推證系數(shù)的情況，若系數(shù)可不全為零則線性相關(guān)，若系數(shù)必須全為零則線性無關(guān)，重點題型。

　　11、12考察如何求一個向量組的秩和最大無關(guān)組，注意求向量組的秩只能用一種變換（一般用行變化），化為階梯形即一目了然，基本題型的練習(xí)，要熟練掌握。

　　13、通過秩來確定參數(shù)，基本題，只不過這里是以向量組的形式給出條件，和以線性方程組、矩陣的形式給出條件無本質(zhì)區(qū)別。

　　14、15是向量組的命題，注意單位坐標(biāo)向量的特殊性：線性無關(guān)。另外14題就是15題的特殊情況。

　　16、用反證法，此題的巧妙之處在于要逐步遞推，這是線代習(xí)題中少有的過程比結(jié)論重要的題目（大多習(xí)題都是結(jié)論常用所以顯得更重要），注意仔細(xì)體會證明過程。

　　17、就是習(xí)題三的20題，只不過是以向量組的說法給出。

　　18、應(yīng)該從此題中體會到的是：兩個向量組等價，則其關(guān)系矩陣一定是滿秩的，原因可用矩陣的語言來解釋：兩個向量組等價實際上就是通過一系列初等變換可互化，關(guān)系矩陣就是這些所所有初等變換對應(yīng)的初等矩陣的乘積，初等矩陣全部都是滿秩的。

　　19、題目本身不難，直接代入已知條件再作適當(dāng)?shù)淖冃渭纯?，但?fù)習(xí)過一遍線代的同學(xué)應(yīng)該注意到，特征值與特征向量的一些概念在此題中已經(jīng)初現(xiàn)端倪，要把思路拓寬，看看從特征向量的角度來看是否能對題目有新的體會。

　　20、齊次線性方程組的練習(xí)，基本題型，必需的練習(xí)，尤其是（3）這類系數(shù)由通式給出的方程，在考研中出現(xiàn)的概率更高，注意不要出錯。

　　21、實際上轉(zhuǎn)化為線性方程組的題目，也是基本題型。

　　22、就是習(xí)題三的15題，兩者無本質(zhì)區(qū)別。

　　23、基本題，求方程組的基礎(chǔ)解系，另外注意公共解實際上就是方程組聯(lián)立后的結(jié)果。

　　24、題目涉及的重要命題有兩個，一是：若AB=0，則R（A）+R（B）〈=0；另一個是：R（A）+R（B）〉=R（A+B）。至于證明本身，只是這兩個命題在某種特殊情況下的綜合應(yīng)用，解答過程給我們的提示相對來說是更重要的。

　　25、與伴隨陣的秩有關(guān)的著名命題，常用結(jié)論，一定要掌握。證明過程很多參考資料都給出了。

　　26、非齊次線性方程組的練習(xí)，基本題型。

　　27、考察線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，較好的融合了該部分的相關(guān)知識點，通過此題的練習(xí)可以加深解的結(jié)構(gòu)相關(guān)概念的理解。

　　28、討論參數(shù)取值對方程組的解的影響，基本題，以向量組的語言給出而已。

　　29、把線性方程組和空間解析幾何的知識點相結(jié)合的一道題目，可以作為一個提高練習(xí)，不強求掌握。

　　30、以抽象的向量形式給出線性方程組的問題，考研典型題之一，解決此題需要綜合應(yīng)用線性方程組和向量組的若干知識點，重點掌握和理解的對象。

　　31、32、33都是涉及解的結(jié)構(gòu)的證明題，其中對基礎(chǔ)解系的理解要清晰：基礎(chǔ)解系是線性無關(guān)的，同時所有的解都可由基礎(chǔ)解系表示，由此可見基礎(chǔ)解系本身就給出了許多強有力的信息，這個在題目中一定要多加利用。同時還有一些解的結(jié)構(gòu)的命題，如非次方程解的差即齊次方程解，等等，也可以通過這幾道練習(xí)中來加強理解和掌握。

　　34及以后的向量空間的題目都不作要求，最多是40題的過渡矩陣了解一下即可，具體解法可參加書上例題，這里不再詳述。

　　通過三、四章的學(xué)習(xí)和練習(xí)，我們體會到，要學(xué)好線代，需要建立起良好的思維習(xí)慣，即面對線性代數(shù)的知識點，常常需要從不同的角度（方程組角度、向量組角度和矩陣角度）去理解同一個數(shù)學(xué)事實或數(shù)學(xué)命題，并且它們通常還是可以互推的，所以在線代里，“見一反三”非常重要，一旦抓住了整個知識網(wǎng)絡(luò)，線代就會成為考研數(shù)學(xué)里最簡單的一環(huán)。

　　同濟五版《線性代數(shù)》習(xí)題解讀（五）
　　1、涉及與正交相關(guān)的條件的基本計算題，可作為運算方面的練習(xí)。

　　2、施密特正交化的計算，很重要的基本題，要注意的是施密特正交化的計算公式難于記憶，最好是把正交化的整個過程搞清楚，也就是說：給你一組向量，你要把它們化成正交的，怎么做？可以先考慮簡單情形，兩個向量怎么正交化？很簡單，只要一個向量減去它在另外一個上的投影就可以了。那三個向量怎么正交化？先把其中兩個正交化，然后第三個減去它在另外兩個的平面上的投影就好了。依次類推，就不難理解施密特正交化中每個公式的意義了。

　　3、判斷矩陣是不是正交陣，按定義即可，基本題。

　　4、5是簡單的涉及正交矩陣概念的證明題，從定義出發(fā)，都不難得到結(jié)論。

　　6、求特征值和特征向量的基本題型，需要練習(xí)純熟。

　　7、證明特征值相同，按特征值定義即可，此命題可作為結(jié)論用。

　　8、較難的一道題，把線代里幾個重要的知識點都綜合在一起考察，關(guān)鍵在于問題的轉(zhuǎn)化：有公共的特征向量問題即兩個方程組有公共解的問題，然后用與方程組的基礎(chǔ)解系有關(guān)的知識點解決，要重點體會解題思路。

　　9、10、11都是與特征值有關(guān)的一些命題，從定義出發(fā)不難證明，線代里的概念大多都要從定義上去抓住它們，把它們理解好。其中10題是一個常用的結(jié)論。

　　12、13是特征值性質(zhì)的應(yīng)用，即特征值與矩陣特有的對應(yīng)關(guān)系，比如矩陣作多項式運算，則其特征值也就該多項式規(guī)律變化，基本題，也是常見題型。

　　14、考察相似的概念，仍然是要把握好定義，何為相似？

　　15、16題涉及到相似對角化，這就要求把相似對角化的條件搞清楚，那么什么樣的矩陣可相似對角化？條件是特征向量線性無關(guān)，從這點出發(fā)就可以解決問題。至于16（1）則是特征值特征向量定義的直接考察。

　　17、18涉及到求矩陣的乘方，實際上特征值特征向量問題就可以看作是為了簡化矩陣乘方運算提出的，這里自然是化為對角陣以后計算，18題是應(yīng)用題形式。

　　19、20題涉及正交的相似變換矩陣，基本題，計算量較大且容易出錯，是值得重視的練習(xí)。

　　21、22、23題則是特征值問題的反問題，實際上把已知的對角矩陣看作出發(fā)點即可。值得注意的是：對一般矩陣來說，不同的特征值對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的；對對稱矩陣來說，不同的特征值對應(yīng)的特征向量不僅線性無關(guān)，還是正交的，這顯然是個更有用的結(jié)果。

　　24是一個重要命題，它涉及到由一個列向量生成的矩陣的特征值問題。實際上有一個列向量生成的矩陣其秩是1，而且是對稱的，所以必可對角化，故0是其n-1重特征值，至于非零特征值，也不難求出，就是這個列向量轉(zhuǎn)置后生成的數(shù)。此題的結(jié)論很常用，要重點掌握。

　　25題涉及求矩陣的多項式運算，不外乎就是乘方運算，與17、18題類同。

　　26、27題考察二次型的概念，基本題，要求熟練寫出一個二次型所對應(yīng)的矩陣，反過來也一樣。

　　28、29題考察用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，實際上就是一個對角化的問題，但因為是對稱矩陣，所以既可正交又可相似對角化。同時要注意二次型的幾何意義：是一個二次曲面。曲面的形狀在不同的坐標(biāo)系下都是一樣的，所以對于一個復(fù)雜的二次型，若不能直接看出它是什么曲面，可以通過化為主坐標(biāo)系下的二次型（即標(biāo)準(zhǔn)型）來進(jìn)行觀察。

　　30、綜合性較強的一道題，轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的條件極值問題即可。

　　31、用配方法化二次型的練習(xí)，基本題，注意計算不要出錯。

　　32、33都是判斷二次型的正定性，對于具體給出的二次型，用順序主子式的符號即可判斷，這個是其中一個充分必要條件。

　　34、實際給出了正定的另一個充分必要條件，證明過程涉及一個抽象矩陣，故只能從最基本的正定的定義出發(fā)，此命題是一個有用的結(jié)論，要求掌握。

　　美麗有兩種，一是深刻而動人的方程，一是你泛著倦意淡淡的笑容。

　　核心知識點的相關(guān)思維訓(xùn)練
　　學(xué)好線代的最關(guān)鍵要點在于“見一反三”，即面對同一個數(shù)學(xué)事實，都要能夠從線性方程組、向量和矩陣三個角度來表述和理解它，以便于根據(jù)解決問題的需要選擇合適的切入點。現(xiàn)將一些個人覺得比較鍛煉思維的習(xí)題匯總?cè)缦?，相信通過對這些題目涉及的命題及其推理過程進(jìn)行深入思考，會有助于更進(jìn)一步把握好線代的知識體系。

　　1、任何一個向量α=（a1，a2，。。。，an）都能由單位向量ε1=（1，0，。。。，0）、ε2=（0，1，。。。，0）、……、εn=（0，0，。。。，1）線性表出，且表示方式唯一。

　　2、向量組α1，α2，…，αn中任一個向量αi可以由這個向量組線性表出。

　　3、判斷下列說法正確性：（1）“向量組α1，α2，…，αn，如果有全為零的數(shù)k1，k2，。。。，kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0，則α1，α2，…，αn線性無關(guān)。”（2）“如果有一組不全為零的數(shù)k1，k2，。。。，kn，使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0，則α1，α2，…，αn線性無關(guān)。”（3）“若向量組α1，α2，…，αn（n≥2）線性相關(guān)，則其中每一個向量都可以由其余向量線性表出。”

　　4、三維空間中的任意4個向量必線性相關(guān)。

　　5、n+1個n維向量必線性相關(guān)。

　　6、如果向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則向量組2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1也線性無關(guān)。

　　7、如果向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，判斷向量組α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是否線性無關(guān)。

　　8、如果向量β可以由向量組α1，α2，…，αn線性表出，則表出方式唯一的充分必要條件是α1，α2，…，αn線性無關(guān)。

　　9、設(shè)向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)，β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果對于某個ki≠0，則用β替換αi后得到的向量組α1，…，α（i-1），β，α（i+1），…，αn也線性無關(guān)。

　　10、由非零向量組成的向量組α1，α2，…，αn（n≥2）線性無關(guān)的充分必要條件是每一個αi（1〈i≤n）都不能用它前面的向量線性表出。

　　11、設(shè)α1，α2，…，αn線性無關(guān)，且（β1，β2，…，βn）=A（α1，α2，…，αn），則β1，β2，…，βn線性無關(guān)的充分必要條件是A的行列式為零。

　　12、秩為r的向量組中任意r個線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個極大線性無關(guān)組。

　　13、任一n維向量組若是線性無關(guān)的，那么其所含向量數(shù)目不會超過n。

　　14、如果n維向量構(gòu)成的向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)，那么任一n維向量β可由α1，α2，…，αn線性表出。

　　15、如果任意的n維向量都可以由α1，α2，…，αn線性表出，那么α1，α2，…，αn線性無關(guān)。

　　16、如果秩為r的向量組可以由它的r個向量線性表出，則這r個向量構(gòu)成的向量組就是它的一個極大線性無關(guān)組。

　　17、n個方程的n元線性方程組x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β對任何β都有解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零。

　　18、如果向量組α1，α2，…，αn和向量組α1，α2，…，αn，β有相同的秩，則β可以由α1，α2，…，αn線性表出。

　　19、r（α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βm）≤r（α1，α2，…，αn）+r（β1，β2，…，βm）。

　　20、矩陣的任意一個子矩陣的秩不會超過原矩陣的秩。

　　21、如果m*n的矩陣A的秩為r，那它的任何s行組成的子矩陣A1的秩不會小于r+s-m。

　　22、如果一個n*n矩陣至少有n^2-n+1個元素為0，則這個矩陣不是滿秩矩陣。

　　23、如果一個n*n矩陣至少有n^2-n+1個元素為0，那么這個矩陣的秩最多是多少？

　　24、設(shè)η1，η2，…，ηt是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則與η1，η2，…，ηt等價的線性無關(guān)的向量組也是方程組的一個基礎(chǔ)解系。

　　25、設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是r（r〈n），則方程組的任意n-r個線性無關(guān)的解向量都是它的一個基礎(chǔ)解系。

　　26、設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是r（r〈n），設(shè)δ1，δ2，…，δm是方程組的解向量，則r（δ1，δ2，…，δm）≤n-r。

　　27、設(shè)n個方程的n元線性方程組的系數(shù)矩陣A的行列式等于零，同時A至少存在一個元素的代數(shù)余子式A（kl）不為零，則向量（A（k1），A（k2），。。。，A（kn））是這個齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。

　　28、設(shè)A1是s*n矩陣A的前s-1行組成的子矩陣，如果以A1為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解都是方程a（s1）*x1+a（s2）*x2+…+a（sn）*xn=0的解，其中a（ij）是矩陣A的元素，則A的第s行可以由A的前s-1行線性表出。

　　29、n個方程的n元非齊次線性方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)它對應(yīng)的齊次方程組只有零解。

　　30、如果η1，η2，…，ηt都是n元非齊次線性方程組的解，并且有一組數(shù)u1，u2，…，un滿足u1+u2+。。。+un=1，則u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方程組的一個解。

　　31、如果ν0是非齊次線性方程組的一個特解，η1，η2，…，ηt是它對應(yīng)的齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系，令ν1=ν0+η1，ν2=ν0+η2，…，νt=ν0+ηt，則非齊次線性方程組的任意一個解可以表示為ν=u0*ν0+u1*ν1+u2*ν2+。。。+ut*νt，其中u0+u1+u2+。。。+ut=1。

　　32、設(shè)A是s*n矩陣，如果對于任意列向量η，都有Aη=0，則A=0。

　　33、兩個n級上三角矩陣的乘積仍是n級上三角矩陣，且乘積矩陣的主對角元等于因子矩陣的相應(yīng)主對角元乘積。

　　34、與所有n級矩陣可交換的矩陣一定是n級數(shù)量矩陣。

　　35、對任一s*n矩陣A，AA'和A'A都是對稱矩陣。

　　36、兩個n級對稱矩陣的和仍是對稱矩陣，一個對稱矩陣的k倍仍是對稱矩陣。

　　37、兩個n級對稱矩陣的乘積仍是對稱矩陣的充分必要條件是它們可交換。

　　38、對任一n級矩陣，A+A'都是對稱矩陣，A-A'都是反對稱矩陣。

　　39、任一n級矩陣都可以表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。

　　40、如果A是n級對稱矩陣，并且A*A=0，則A=0。

　　41、r（A+B）≤r（A）+r（B）。

　　42、如果一個矩陣的行（列）向量組是線性無關(guān)的，則稱為行（列）滿秩矩陣。如果一個s*n的矩陣A的秩為r，則有s*r的列滿秩矩陣B和r*n的行滿秩矩陣C存在，使得A=BC。

　　43、設(shè)A是n級矩陣，若AA'=E，則A的行列式為1或-1。

　　44、如果矩陣A可逆，則A*也可逆，求A*的逆陣。

　　45、可逆的對稱矩陣的逆矩陣仍然是對稱矩陣。

　　46、如果A^k=0，則A-E可逆，求其逆陣。

　　47、設(shè)A、B分別為s*n，n*m矩陣，如果AB=0，則r（A）+r（B）≤n。

　　48、設(shè)A是n級矩陣，且A≠0，則存在一個n*m的非零矩陣，使AB=0的充分必要條件是A的行列式為零。

　　49、如果n級矩陣A滿足A*A=E，則r（A+E）+r（A-E）≤n。

　　50、設(shè)A是一個s*n矩陣，β是任意一個s維向量，則n元線性方程組A'Ax=A'β一定有解。

　　51、設(shè)A是一個n級方陣，且r（A）=1，則A能表示成一個列向量與一個行向量的乘積。

　　52、設(shè)A是n級矩陣（n≥2），則A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。

　　53、設(shè)A是n級矩陣（n≥2），則當(dāng)r（A）=n時，r（A*）=n；當(dāng)r（A）=n-1時，r（A*）=1；當(dāng)r（A）〈n-1時，r（A*）=0。

　　54、設(shè)A、B分別是s*n，n*m的矩陣，則矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是r（A）=r（A，B）。

　　55、設(shè)A、B分別是s*n，n*m矩陣，則r（AB）≥r（A）+r（B）-n。

　　56、設(shè)C是s*r的列滿秩矩陣，D是r*n的行滿秩矩陣，則r（CD）=r。

　　其中55題難度較大，不作強求。另外補充說明一下，可能一開始大家完成這些題目的證明時有的需要在書面上推導(dǎo)，但熟悉了以后再重看的話，應(yīng)該是可以僅憑頭腦中的推理完成的，換句話說，我們的最終目的是不動一紙一筆把這幾十道題目的來龍去脈勾畫清楚，所以前面提到是“思維的訓(xùn)練”，做到這一點的話，線代基本就可算是學(xué)到家了。