摘要:歷年考研數(shù)學(xué)對(duì)積分部分考查綜合性強(qiáng),是考研數(shù)學(xué)考查的重中之重,所占比重最大。幫幫梳理了不定積分、定積分及二重積分的基本計(jì)算思路及方
作者
佚名
摘要:歷年考研數(shù)學(xué)對(duì)積分部分考查綜合性強(qiáng),是考研數(shù)學(xué)考查的重中之重,所占比重最大。幫幫梳理了不定積分、定積分及二重積分的基本計(jì)算思路及方法,目的是使知識(shí)系統(tǒng)化,方便大家更有條理地復(fù)習(xí)。
一、不定積分
不定積分的計(jì)算是整個(gè)積分運(yùn)算的基礎(chǔ),定積分、重積分的計(jì)算都是依賴(lài)于此。因此掌握不定積分的計(jì)算方法和思路非常重要。
不定積分計(jì)算的根本是最基本的積分公式,我們將這些公式分為兩種,一種是基本初等函數(shù)的積分公式,一種是在計(jì)算積分的過(guò)程中得到的一些公式,例如:
這些公式在今后的計(jì)算中經(jīng)常用到,所以也總結(jié)在基本積分公式中,需要同學(xué)們記憶并熟練應(yīng)用。在基本公式的基礎(chǔ)之上,掌握常見(jiàn)的積分法即可正確解題,需要清楚的是,不管是何種積分方法,最終都是轉(zhuǎn)化為用基本積分公式解題。
常見(jiàn)的積分法:第一類(lèi)換元積分,又稱(chēng)為湊微分法,用來(lái)解決被積函數(shù)中同時(shí)存在原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的情況,基本思想是
第二類(lèi)換元積分是與第一類(lèi)換元法相反的思路,在計(jì)算過(guò)程中應(yīng)用得很頻繁,基本思想是
分部積分法主要解決兩類(lèi)不同類(lèi)型的函數(shù)的乘積形式的積分,尤其是含有反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)的積分,基本思想是
關(guān)鍵點(diǎn)是u、v的選取。
常見(jiàn)的基本題型包括:有理函數(shù)的積分;可化為有理函數(shù)的積分(包括:三角有理式、指數(shù)有理式);根式的處理;分部積分法的使用等。
二、定積分
定積分的計(jì)算包含兩方面:一、基本思路是牛萊公式,利用不定積分的解題方法來(lái)計(jì)算;二、利用對(duì)稱(chēng)區(qū)間及函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)解題,主要是運(yùn)用函數(shù)的奇偶性。
1、利用不定積分的計(jì)算方法
1)換元法
2)分部積分法
2、對(duì)稱(chēng)區(qū)間上函數(shù)定積分的計(jì)算
1)利用奇偶性
2)被積函數(shù)本身無(wú)奇偶性,直接計(jì)算積分又難算時(shí)考慮變量代換,令x=-u。
三、二重積分
計(jì)算二重積分的基本思路是將其化作累次積分(也即兩次定積分),要把二重積分化為累次積分,有兩個(gè)主要的方式:一是直接使用直角坐標(biāo),二是使用極坐標(biāo)。這是我們計(jì)算二重積分的兩個(gè)主要的武器。
首先,對(duì)直角坐標(biāo)來(lái)說(shuō),主要考點(diǎn)有兩個(gè):一是積分次序的選擇,基本原則有兩個(gè):一是看區(qū)域,選擇的積分次序一定要便于定限,說(shuō)得更具體一點(diǎn),也就是要盡量避免分類(lèi)討論;二是看函數(shù),要盡量使第一步的積分簡(jiǎn)單,選擇積分次序的最終目的肯定是希望是積分盡可能地好算一些,實(shí)踐表明,大多數(shù)時(shí)候,只要讓二重積分第一步的積分盡可能簡(jiǎn)單,那整個(gè)積分過(guò)程也會(huì)比較簡(jiǎn)潔,所以我們?cè)谀玫揭粋€(gè)二重積分之后,可以根據(jù)它的被積函數(shù)考慮一下第一步把哪個(gè)變量看成常數(shù)更有利于計(jì)算,從而確定積分次序。二是定限,完成定限之后,二重積分就被化為了兩次定積分,就可以直接計(jì)算了。
以上是我們計(jì)算二重積分的主體思路,在此基礎(chǔ)之上,我們還可以利用對(duì)稱(chēng)性,它在二重積分的計(jì)算中雖然屬于輔助性的技能,但如果恰當(dāng)使用的話(huà),還是可以明顯地簡(jiǎn)化計(jì)算。
二重積分中的對(duì)稱(chēng)性分為兩種:一是奇偶性,二是輪換對(duì)稱(chēng)性。一般來(lái)說(shuō),對(duì)稱(chēng)性應(yīng)該使用在拿到一個(gè)二重積分之后的第一步,只要積分區(qū)域關(guān)于某坐標(biāo)軸是對(duì)稱(chēng)的,就要先檢驗(yàn)被積函數(shù)是否具有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性,尤其要注意有沒(méi)有奇函數(shù),以盡可能地簡(jiǎn)化計(jì)算。
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