碎片挑戰(zhàn)：常見數(shù)學(xué)小問題集錦（2）

　　摘要：微積分如果用心去學(xué)你會發(fā)現(xiàn)很多樂趣，然后在解題的過程享受這些小小的成就感，何樂而不為呢?？靵砜纯催@位朋友分享的一些小樂趣吧。

　　?被積函數(shù)是連續(xù)函數(shù)f（x）的積分上限函數(shù)F（x）可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)就是f（x）。

　　逆向思維，這就用“構(gòu)造法”證明了：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

　　把“作上限函數(shù)”視為一種變換方式，從條件角度看，相當(dāng)于通過變換將連續(xù)函數(shù)提升為可導(dǎo)函數(shù)?！稄V義函數(shù)》理論中，在不光滑點（連續(xù)不可導(dǎo)點）微局部地實施這樣的變換，就好象是用“沙輪”把曲線“尖點”給磨光了。故稱之為“磨光變換”。

　　當(dāng)年武漢X中有個學(xué)生入選中國中學(xué)生奧數(shù)代表隊。在清華北大的集訓(xùn)中，他將這套技術(shù)學(xué)得很精。正式參加世界大賽時，決賽卷上最后的坡度題恰好用“磨光變換”最簡單。這個小子設(shè)計了“磨光變換”逼近列，很快地完成了解答。自信無誤之際，竟在草稿上畫卜克游戲玩。新華社電訊稿報道中學(xué)生奧數(shù)代表隊奪金時，記者把“磨光變換”寫成了“魔光變換”，好不嚇人哦。

　　這里有一個有趣的聯(lián)想。如果f（x）僅有第一類間斷，那么相應(yīng)的上限函數(shù)是否一定連續(xù)呢？

　　結(jié)論是，“相應(yīng)的上限函數(shù)一定連續(xù)。”

　　（畫外音：考研題中出現(xiàn)過一次。）

　　在《概率統(tǒng)計》中，連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)就是密度函數(shù)的上限函數(shù)。它一定連續(xù)。由于密度函數(shù)非負(fù)，證明這個結(jié)論，用連續(xù)的增量定義最簡明。

　　要注意的是，設(shè)f（x）有跳躍間斷點a，相應(yīng)的上限函數(shù)在點a雖然連續(xù)，卻一定不可導(dǎo)。即改善是有一定限度的。

　　要證明這個結(jié)論正好用上我的“有意思（4）右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限”。

　　實際上，設(shè)點a左側(cè)，f（x）=初等函數(shù)φ(x)，右側(cè)f（x）=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)形成跳躍間斷。記f（x）相應(yīng)的上限函數(shù)為F（x），則F（x）在點a連續(xù)，但是

　　左側(cè)求導(dǎo)F′(x)=φ(x)，右側(cè)求導(dǎo)F′(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)

　　F（x）在點a不可導(dǎo)。

　　在點a的鄰域內(nèi)，F(xiàn)（x）不是f（x）的原函數(shù)。

　　相當(dāng)一些“模擬卷”上有這樣的題目?？梢运闶?ldquo;擦邊球”。

　　?《概率統(tǒng)計》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要你有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。

　　比如，計算D(卡方(1))就是個大綜合練習(xí)。

　?。撆_詞：D(卡方(n))=2n）

　　預(yù)備1——我們知道，exp（x2）是四個“典型不可積”中最為露臉的一個。正態(tài)分布的密度函數(shù)與它同為一家，但是密度函數(shù)在全直線積分為1。在歷史上，人們曾利用這個特點及定積分技巧來計算一些無窮積分。

　　計算D(卡方(1))，最尾端就要用到它。

　　預(yù)備2——我在“講座”中逐講給大家建立一個“材料庫”。最早在（5）中有一條

　　“x趨于+∞時，指數(shù)函數(shù)exp（x）是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無窮大。”

　　或者說，“x趨于+∞時，函數(shù)exp（－x）是任意高階的無窮小。”

　　預(yù)備3——分部積分的要點是“變化”

　　∫甲·乙dx=（甲的一個原函數(shù))·(乙)－∫(甲的這個原函數(shù))·(乙的導(dǎo)數(shù))dx

　　設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們計算D(X2)，即證明D(卡方(1))=2

　　鑒于輸入問題，我寫出步驟，大家在紙上劃一下

　?。?）用平方關(guān)系來算D(X2)，得先算均值E(X四次方)

　　設(shè)f（x）是N(0,1)的密度函數(shù)，求E(X四次方），被積函數(shù)x四次方f（x）在全直線積分

　　分x四次方f（x）=x3·xf（x），注意xf（x）的原函數(shù)恰是－f（x）

　　分部積分一次，求極限知第一部分答案為0，(運(yùn)用預(yù)備2)

　　第二部分是3x2f(x)在全直線積分

　　再分x2f(x)=x·xf（x）,又分部積分，同樣求極限知第一部分答案為0，

　　第二部分已是3倍密度函數(shù)f（x）在全直線積分，當(dāng)然為3

　?。?）用平方關(guān)系來算

　　我常常開玩笑把平方關(guān)系E(X2)=μ2+σ2稱為“概率勾股定理”。

　　D（X2）=E(X四次方）-（E(X2)）2=3－1=2

　　怎么樣，有點意思吧。

　　?如果你作了一個假設(shè)，你就建立了邏輯推理的一個基本點。如果你還要作第二個假設(shè)，那得小心思考，新的假設(shè)是否與第一個假設(shè)獨(dú)立。

　　一個同學(xué)在論壇上發(fā)貼，先設(shè)“對任意x，總有f（x）＞x”，推出“f（f（x））＞f（x）”，突然又假設(shè)“f（x）單減”，然后就不明白，“為什么會矛盾”。這就是沒考慮邏輯，隨意作第二個假設(shè)造成的。

　　數(shù)學(xué)歷史上，正當(dāng)人們陶醉于“集合理論”與“勒貝格積分”等成果的完美之際，“悖論”的出現(xiàn)給大家當(dāng)頭一棒，砸得人暈頭轉(zhuǎn)向。仿佛有世界末日來臨的感覺。以至于對很多成功的“公理化假設(shè)”也提出懷疑：“是否在筑好籬笆之時，已經(jīng)圈進(jìn)了狼？”

　　思考“第二假設(shè)是否與第一個假設(shè)獨(dú)立”，有時的確較為困難。

　　看一個線性代數(shù)問題。

　?。ㄖv座（40））例15設(shè)n維行向量組a1，a2，---，ak線性無關(guān)，k＜n，以它們?yōu)橄禂?shù)作有k個方程的齊次線性方程組。若向量β是這個方程組的非零解。試證

　　向量組a1，a2，---，ak，β線性無關(guān)。

　　例15是原數(shù)學(xué)四的考題。它可以深化為，

　　*例“設(shè)向量組β1，β2，---，βr線性無關(guān)，向量組ξ1，ξ2，---，ξk線性無關(guān)。若前一向量組的每一個向量都與后一向量組的各向量正交。則兩向量組的合并組線性無關(guān)。（暫時不寫一個條件）

　　證明設(shè)有一組數(shù)C1，……，Cr，Cr+1，……，Cr+k，使得

　　C1β1+……+Crβr+Cr+1ξ1+……+C(r+k)ξk=0

　　用β1對等式兩邊作內(nèi)積，得β1ˊβ1C1+……+β1ˊβrCr=0

　　用β2對等式兩邊作內(nèi)積，得β2ˊβ1C1+……+β2ˊβrCr=0

　　…………

　　用βr對等式兩邊作內(nèi)積，得βrˊβ1C1+……+βrˊβrCr=0

　　現(xiàn)在，問題歸結(jié)為，證明這個齊次方程組僅有零解。

　　問題延伸1，若記A=（β1，β2，---，βr），則系數(shù)矩陣恰為AˊA

　?。撆_詞：矩陣乘法，“左行右列作內(nèi)積”）

　　問題延伸2，秩R(A)=秩R(A′A)

　　證明作齊次線性方程組AX=0和A′AX=0，AX=0的解顯然都是A′AX=0的解。

　　如果列向量β是A′AX=0的解，則

　　內(nèi)積(Aβ)′(Aβ)=β′A′Aβ=β′(A′Aβ)=0

　　這說明Aβ=0(向量),即A′AX=0的解也都是AX=0的解。兩方程組同解。

　　解集秩n-R(A)=n-R(A′A)故秩R(A)=秩R(A′A)

　　前述關(guān)于C1，……，Cr的齊次方程組僅有零解。帶回假設(shè)式，由后一向量組的線性無關(guān)性知,其余系數(shù)也全為零。故兩向量組的合并組線性無關(guān)。

　?。ó嬐庖簦哼@是一個可以記住的結(jié)論。請體會證明的特色。）

　　好象什么問題都沒有？??？?。?！聯(lián)想“n+1個n維向量線性相關(guān)”,這里還有向量個數(shù)問題。在沒有限定向量個數(shù)時，第二個假設(shè)，“前一向量組的每一個向量都與后一向量組的各向量正交”，不一定成立。必須先說“k+r≤n”

　　這個條件不影響證明。

　　有點復(fù)雜。不算太難。內(nèi)涵豐富，慢慢體會。